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從數列{an}中取出部分項,并將它們按原來的順序組成一個數列,稱為數列{an}的一個子數列,設數列{an}是一個首項為a1,公差為d(d≠0)的無窮等差數列.
(1)若a1,a2,a5為公比為q的等比數列,求公比q的值;
(2)若a1=1,d=2,請寫出一個數列{an}的無窮等比子數列{bn};
(3)若a1=7d,{cn}是數列{an}的一個無窮子數列,當c1=a2,c2=a6時,試判斷{cn}能否是{an}的無窮等比子數列,并說明理由.
分析:(1)由題設知(a1+d)2=a1(a1+4d),由此可求出其公比q=
a2
a1
=3
;
(2)取b1=3,b2=9,則數列{an}的無窮等比子數列{bn}可以為bn=3n
(3)設等比數列的公比q=
a6
a2
=
3
2
,bm=a2qm-1=8d•(
3
2
)
m-1
,由題設an=a1+(n-1)d=(n+6)d.再由反證法能夠推出該數列不為{an}的無窮等比子數列.
解答:解:(1)由題設,得a22=a1a5,即(a1+d)2=a1(a1+4d),得d2=2a1d,又d≠0,
于是d=2a1,故其公比 q=
a2
a1
=3
;
(2)取b1=3,b2=9,則數列{an}的無窮等比子數列{bn}可以為bn=3n滿足題意;
(3)設等比數列的公比q=
a6
a2
=
3
2
,bm=a2qm-1=8d•(
3
2
)
m-1
,由題設an=a1+(n-1)d=(n+6)d
假設數列{bm}為{an}的無窮等比子數列,
則對任意自然數m(m≥3),都存在n∈N*,使an=bm,
(n+6)d=8d•(
3
2
)
m-1

n=8(
3
2
)
m-1
-6
,
當m=5時,n=8(
3
2
)
5-1
-6=
69
2
N*
與假設矛盾,
故該數列不為{an}的無窮等比子數列.
點評:本題的考點是等比數列,主要考查數列的綜合運用,難度較大,解題時要認真審題,仔細解答,避免出錯.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

從數列{an}中取出部分項,并將它們按原來的順序組成一個數列,稱之為數列{an}的一個子數列.設數列{an}是一個首項為a1、公差為d(d≠0)的無窮等差數列.
(1)若a1,a2,a5成等比數列,求其公比q.
(2)若a1=7d,從數列{an}中取出第2項、第6項作為一個等比數列的第1項、第2項,試問該數列是否為{an}的無窮等比子數列,請說明理由.
(3)若a1=1,從數列{an}中取出第1項、第m(m≥2)項(設am=t)作為一個等比數列的第1項、第2項,試問當且僅當t為何值時,該數列為{an}的無窮等比子數列,請說明理由.

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(1)若a1,a2,a5成等比數列,求其公比q.
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(3)若a1=1,從數列{an}中取出第1項、第m(m≥2)項(設am=t)作為一個等比數列的第1項、第2項,試問當且僅當t為何值時,該數列為{an}的無窮等比子數列,請說明理由.

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