Question

已知橢圓E：的右焦點(diǎn)恰好是拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)F，點(diǎn)A是橢圓E的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，滿足OM⊥ON，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，
(Ⅰ)求橢圓E的方程；
(Ⅱ)過橢圓E的左頂點(diǎn)B作y軸平行線BQ，過點(diǎn)N作x軸平行線NQ，直線BQ與NQ相交于點(diǎn)O。若△QMN是以MN為一條腰的等腰三角形，求直線MN的方程．

Answer 1

解：(Ⅰ)F(1，0)，∴a²-b²=1，A（a，0），
設(shè)直線l：x=a+my代入y²=4x中， 整理得y²-4my-4a=0，
設(shè)，則，
又∵，
∴，
由OM⊥ON得，
解得：a=4或a=0（舍），得，
所以橢圓E的方程為。
(Ⅱ)橢圓E的左頂點(diǎn)B（-4，0），所以點(diǎn)Q（-4，y²），易證M，O，Q三點(diǎn)共線，
①當(dāng)QM為等腰△OMN的底邊時(shí)，由于ON⊥OM，
∴O是線段MQ的中點(diǎn)，
∴，
所以m=0，即直線MN的方程為x=4；
②當(dāng)QN為等腰△QMN的底邊時(shí)，，
又∵，
解得，或，
∴，
所以直線MN的方程為，即；
綜上所述，當(dāng)△OMN為等腰三角形時(shí)，直線MN的方程為x=4或。