Question

20．已知復(fù)數(shù)z=$\frac{{{{（1+{i}）}^2}+3（1-{i}）}}{{2+{i}}}$（i是虛數(shù)單位）．
（Ⅰ）求復(fù)數(shù)z的模|z|；  
（Ⅱ）若z²+az+b=1+i（a，b∈R），求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式即可得出．
（2）利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)相等即可得出．

解答 解：（1）z=$\frac{{{{（1+{i}）}^2}+3（1-{i}）}}{{2+{i}}}$=$\frac{3-i}{2+i}$=$\frac{（3-i）（2-i）}{（2+i）（2-i）}$=$\frac{5-5i}{5}$=1-i．
∴|z|=$\sqrt{2}$．
（2）z²+az+b=（1-i）²+a（1-i）+b=a+b-（2+a）i=1+i，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=1}\\{2+a=-1}\end{array}\right.$，解得a=-3，b=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式、復(fù)數(shù)相等，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．