已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的兩焦點與短軸的一個端點連結成等腰直角三角形，直線l：x-y-b=0是拋物線x2=4y的一條切線．
（1）求橢圓方程；
（2）直線l交橢圓C于A、B兩點，若點P滿足++=（O為坐標原點），判斷點P是否在橢圓C上，并說明理由．
【答案】分析：（1）由于直線l：x-y-b=0是拋物線x2=4y的一條切線，聯(lián)立消去一個未知數(shù)，令△=0即可得到b．再利用橢圓C的兩焦點與短軸的一個端點連結成等腰直角三角形即可得到，即可得到a．
（2）把直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立即可解得點A，B的坐標，再利用點P滿足++=（O為坐標原點）即可得到點P的坐標，判斷是否滿足橢圓方程即可．
解答：解：（1）聯(lián)立，消去y得到x2-4x+4b=0．
∵直線l：x-y-b=0是拋物線x2=4y的一條切線，∴△=16-16b=0，解得b=1．
∵橢圓C：+=1（a＞b＞0）的兩焦點與短軸的一個端點連結成等腰直角三角形，
∴．故所求的橢圓方程為．
（2）由得3x2-2x-1=0，解得，
∴，
設P（x，y），∵，
∴=（0，0），
解得，∴，
把點代入橢圓方程，得，
∴點P不在橢圓C上．
點評：熟練掌握橢圓的標準方程及其性質、直線與圓錐曲線相切相交問題、向量運算等是解題的關鍵．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C:+y2=1,則與橢圓C關于直線y=x成軸對稱的曲線的方程是____________.

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科目：高中數(shù)學 來源：2012年陜西省高考數(shù)學壓軸卷（解析版） 題型：選擇題

已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左右焦點為F1，F(xiàn)2，過F2線與圓x2+y2=b2相切于點A，并與橢圓C交與不同的兩點P，Q，如圖，PF1⊥PQ，若A為線段PQ的靠近P的三等分點，則橢圓的離心率為（ ）
A．
B．
C．
D．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年廣西桂林市、崇左市、防城港市高考第一次聯(lián)合模擬理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

 如圖，已知橢圓C：+=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F、F，A是橢圓C上的一點，AF⊥FF，O是坐標原點，OB垂直AF于B，且OF=3OB.

（Ⅰ）求橢圓C的離心率；

（Ⅱ）求t∈（0，b），使得命題“設圓x+y=t上任意點M（x，y）處的切線交橢圓C于Q、Q兩點，那么OQ⊥OQ”成立.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年四川省攀枝花市高三12月月考文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C：=1（a>b>0）的離心率為，且在x軸上的頂點分別為

（1）求橢圓方程；

（2）若直線：與軸交于點T，P為上異于T的任一點，直線分別與橢圓交于M、N兩點，試問直線MN是否通過橢圓的焦點？并證明你的結論.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年廣東省高三上學期摸底考試文科數(shù)學 題型：解答題

（本題滿分14分）已知橢圓C：=1(a＞b＞0)的離心率為，短軸一

 

個端點到右焦點的距離為3.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過橢圓C上的動點P引圓O：的兩條切線PA、PB，A、B分別為切點，試探究橢圓C上是否存在點P，由點P向圓O所引的兩條切線互相垂直？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

 

 

 

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