Question

2．定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-$\frac{3}{4}$，0）成中心對稱，且對任意的實數(shù)x都有$f（x）=-f（x+\frac{3}{2}）$，f（-1）=1，f（0）=-2，則f（1）+f（2）+…+f（2 017）=（　�。�

• A． 0
• B． -2
• C． 1
• D． -4

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）=-f（x+$\frac{3}{2}$）求出函數(shù)的周期，由函數(shù)的圖象的對稱中心列出方程，由條件、周期性、對稱性求出f（1）、f（2）、f（3）的值，由周期性求出答案．

解答 解：由f（x）=-f（x+$\frac{3}{2}$）得f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x），
∴f（x+3）=-f（x+$\frac{3}{2}$）=f（x），即函數(shù)的周期為3，
又f（-1）=1，∴f（2）=f（-1+3）=f（-1）=1，
且f（$\frac{1}{2}$）=-f（-1）=-1，
∵函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)（$-\frac{3}{4}$，0）呈中心對稱，
∴f（x）+f（-x-$\frac{3}{2}$）=0，則f（x）=-f（-x-$\frac{3}{2}$），
∴f（1）=-f（-$\frac{5}{2}$）=-f（$\frac{1}{2}$）=1，
∵f（0）=-2，∴f（3）=f（0）=-2，
則f（1）+f（2）+f（3）=1+1-2=0
∴f（1）+f（2）+…+f（2017）=f（1）=1，
故選C．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的周期性和對稱性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，化簡、變形能力．