Question

已知函數(shù)f（x）=．
（1）若，求a的值；
（2）t＞1，是否存在a∈[1，t]使得成立？并給予證明；
（3）結合定積分的幾何意義說明（2）的幾何意義．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出原函數(shù)，可得定積分，即可求得a的值；
（2）先求出定積分，再構建函數(shù)，即可證明；
（3）連續(xù)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上的定積分等于該區(qū)間上某個點x的函數(shù)值f（x）與該區(qū)間長度的積．
解答：解：（1）∵，∴…（3分）
（2）
設，∴…（5分）
下面證明a∈[1，t]：
設g（t）=t-1-lnt（t＞1）則
∴g（t）在（1，+∞）上為增函數(shù)，當t＞1時，g（t）＞g（1）=0
又∵t＞1時lnt＞0，∴a-1＞0即a＞1…（8分）

設h（t）=t-1-tlnt（t＞1）則
∴h（t）在（1，+∞）上為減函數(shù)，當t＞1時h（t）＜h（1）=0
又∵t＞1時lnt＞0，∴a-t＜0即a＜t，∴a∈[1，t]
綜上：當t＞1時，存在a∈[1，t]使得成立．…（11分）
（3）連續(xù)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上的定積分等于該區(qū)間上某個點x的函數(shù)值f（x）與該區(qū)間長度的積，即其中x∈[a，b]…（14分）
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查定積分，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．