Question

已知2tanα•sinα=3，-

π

2

＜α＜0，則cos(α-

π

6

)的值是

0

．

Answer 1

分析：利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系切化弦得到關(guān)系式，變形后代入sin²α+cos²α=1，得到關(guān)于cosα的方程，求出方程的解得到cosα的值，由α的范圍，得到sinα小于0，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinα的值，將所求式子利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)后，把sinα和cosα的值代入即可求出值．

解答：解：∵2tanα•sinα=

2sin2α

cosα

=3，即sin²α=

3

2

cosα，
∴代入sin²α+cos²α=1中得：cos²α+

3

2

cosα-1=0，即2cos²α+3cosα-2=0，
變形得：（2cosα-1）（cosα+2）=0，
解得：cosα=

1

2

或cosα=-2（舍去），
∵-

π

2

＜α＜0，∴sinα=-

1-cos2α

=-

3

2

，
則cos（α-

π

6

）=cosαcos

π

6

+sinαsin

π

6

=

1

2

×

3

2

-

3

2

×

1

2

=0．
故答案為：0

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式及基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．