Question

某化工廠引進一條先進生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本y(萬元)與年產(chǎn)量x(噸）之間的函數(shù)關(guān)系式可以近視地表示為,已知此生產(chǎn)線的年產(chǎn)量最大為210噸.
(Ⅰ) 求年產(chǎn)量為多少噸時，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低，并求最低成本；
(Ⅱ)若每噸產(chǎn)品平均出廠價為40萬元，那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時，可以獲得最大利潤?最大利潤是多少?

Answer 1

(Ⅰ)年產(chǎn)量為噸時，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低，最低成本為萬元；(Ⅱ)當(dāng)年產(chǎn)量為噸時，可以獲得最大利潤，最大利潤是萬元.

試題分析：(Ⅰ)先根據(jù)定義將平均成本的表達(dá)式求出來，然后利用基本不等式求平均成本的最小值，但需注意基本不等式適用時的三個基本條件；(Ⅱ)先將總利潤的函數(shù)解析式求出來，然后利用函數(shù)的單調(diào)性與最值的相關(guān)方法求總利潤的最大值.
試題解析：(Ⅰ)每噸產(chǎn)品的平均成本
當(dāng)且僅當(dāng)取等號即x=200<210 滿足。
年產(chǎn)量為200噸時，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低，最低成本為32萬元；   5分
(Ⅱ)設(shè)總利潤為萬元，
則
在上是增函數(shù)時，有最大值為
年產(chǎn)量為210噸時，可以獲得最大利潤1660萬元.   10分