Question

設f（x）=e^x-a（x+1）．
（1）若a＞0，f（x）≥0對一切x∈R恒成立，求a的最大值．
（2）設g（x）=f（x）+

a

ex

，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）是曲線y=g（x）上任意兩點，若對任意的a≤-1，直線AB的斜率恒大于常數m，求m的取值范圍；
（3）求證：1ⁿ+3ⁿ+…+（2n-1）ⁿ＜

e

e-1

•(2n)n．

Answer 1

分析：（1）f（x）≥0對一切x∈R恒成立，等價于f（x）_min≥0，利用導數可得最小值；
（2）設x₁，x₂是任意的兩實數，且x₁g（x₁）-mx₁，令函數F（x）=g（x）-mx，則F（x）在（-∞，+∞）上單調遞增，
F′（x）=g′（x）-m≥0恒成立，分離出參數m后轉化為求函數最值即可；
（3）由（1）知e^x≥x+1，取x=-

i

2n

，i=1，3，…，2n-1，得1-

i

2n

≤e

i

2n

，即(

2n-i

2n

)n≤e-

i

2

，累加后再進行適當放縮，可證明；

解答：解：（1）∵f（x）=e^x-a（x+1），∴f′（x）=e^x-a，
∵a＞0，f′（x）=e^x-a=0的解為x=lna，
∴f（x）_min=f（lna）=a-a（lna+1）=-alna，
∵f（x）≥0對一切x∈R恒成立，
∴-alna≥0，∴l(xiāng)na≤0，∴0＜a≤1，即a_max=1．
（2）設x₁，x₂是任意的兩實數，且x₁＜x₂，
則

g(x2)-g(x1)

x2-x1

＞m，故g（x₂）-mx₂＞g（x₁）-mx₁，
∴不妨令函數F（x）=g（x）-mx，則F（x）在（-∞，+∞）上單調遞增，
∴F′（x）=g′（x）-m≥0恒成立，
∴對任意的a≤-1，x∈R，m≤g′（x）恒成立，
g′(x)=ex-a-

a

ex

≥2

ex•(- a ex )

-a=-a+2

-a

=(

-a

+1)2-1≥3，
故m≤3；
（3）由（1）知e^x≥x+1，取x=-

i

2n

，i=1，3，…，2n-1，得1-

i

2n

≤e

i

2n

，即(

2n-i

2n

)n≤e-

i

2

，
累加得：(

1

2n

)n+(

3

2n

)n+…+(

2n-1

2n

)n≤e-

2n-1

2

+e-

2n-3

2

+…+e-

1

2

=

e- 1 2 (1-e-n)

1-e-1

＜

e

e-1

，
∴1n+3n+…+(2n-1)n＜

e

e-1

(2n)n，
故存在正整數a=1．使得1ⁿ+3ⁿ+…+（2n-1）ⁿ＜

e

e-1

•(2n)n．

點評：本題考查恒成立問題、導數求函數的最值，考查轉化思想，考查學生分析問題解決問題的能力，該題綜合性強，難度大，對能力要求較高．