Question

【題目】已知函數(shù)，.

（l）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一的極值點(diǎn)，求的值.

Answer 1

【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)或.

【解析】試題分析：（1）先求得函數(shù)定義域?yàn)?/span>，再利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來(lái)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。（2）即在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，且為奇次零點(diǎn)。所以對(duì)函數(shù)g(x)求導(dǎo) .由（1）可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.而，所以g(x)最多兩個(gè)零點(diǎn)，分別位于（0,1）和，所以現(xiàn)在只需在（0,1）和中各找一個(gè)，，使得，可找<0,，所以一定有兩個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)橐�找的區(qū)間長(zhǎng)度為1，所以再找，可求得或.

試題解析：（1）由已知得，.

當(dāng)時(shí)，由，得，

由，得.

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）因?yàn)?/span> ，

則 .

由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

又因?yàn)?/span>，.

所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).

又在上，在上單調(diào)遞減；

在上，在上單調(diào)遞增.

所以為極值點(diǎn)，此時(shí).

又，，

所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).

又在上，在上單調(diào)遞增；

在上，在上單調(diào)遞減.

所以為極值點(diǎn)，此時(shí).

綜上所述，或.