Question

【題目】如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，，底面是直角梯形,.

（1）求證：平面；

（2）設(shè)為側(cè)棱上一點(diǎn)，，試確定的值，使得二面角的大小為.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，即可證明結(jié)論成立；

（2）先由（1）得兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以方向分別為軸，軸，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的一個法向量，根據(jù)向量夾角余弦值與二面角的大小，即可求出結(jié)果.

（1）因?yàn)閭?cè)面底面，，

所以底面，所以；

又底面是直角梯形,，

所以，

因此，所以；

又，且平面，平面，

所以平面；

（2）由（1）可得兩兩垂直，

因此以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以方向分別為軸，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系；

則，，，，

則，，，

由（1）可知平面；所以為平面的一個法向量；

又因?yàn)?/span>，

所以，

設(shè)平面的一個法向量為，

則，即，令，則，即，

所以，

又二面角的大小為，

所以，化簡整理得，

解得，

因?yàn)?/span>為側(cè)棱上一點(diǎn)，所以，

因此.