設(shè)a>0,函數(shù)
(1)求證:關(guān)于x的方程沒有實(shí)數(shù)根;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)設(shè)數(shù)列{xn}滿足,當(dāng)a=2且,證明:對(duì)任意m∈N*都有
解:(1)∵方程,
,
﹣x+a+1=0,
∵a>0,
∴△=1﹣4(a+1)=﹣4a﹣3<0
方程沒有實(shí)數(shù)根;
(2)∵函數(shù),
∴g'(x)=a+2x+a,
令g'(x)=a+2x+a=0,則△=4﹣4a2,
①當(dāng)△=4﹣4a2<0,即a>1,對(duì)任意實(shí)數(shù)g'(x)>0,
∴g(x)在R上單調(diào)遞增
②當(dāng)△=4﹣4a2=0,即a=1,g'(1)=0,但g'(x)>0,(x≠1),
∴g(x)在R上單調(diào)遞增
③當(dāng)△=4﹣4a2>0,即0<a<1,對(duì)任意實(shí)數(shù)由g'(x)>0,a+2x+a>0,得x或x>,
∴g(x)在()上單調(diào)遞減,g(x)在(﹣∞,),(,+∞)上單調(diào)遞增
(3)當(dāng)a=2時(shí),由=0,得  x2=f()=f(0)=
|﹣x2|=,|x3﹣x2|=||=×|x22﹣x12|<×|x2||x2+|
=××|x2|=
當(dāng)k≥2時(shí),∵0<xk≤
∴|xk+1﹣xk|=||=×|xk2﹣xk﹣12|<×|xk﹣xk﹣1||xk+xk﹣1|<×|xk﹣xk﹣1|<×|xk﹣1﹣xk﹣2|<…<×|x3﹣x2|<
對(duì)任意m∈N+,|xm+k﹣xk|=|(xm+k﹣xm+k﹣1)+(xm+k﹣1﹣xm+k﹣2)+(xm+k﹣2﹣xm+k﹣3)…+(xk+1﹣xk)|≤|(xm+k﹣xm+k﹣1)|+|(xm+k﹣1﹣xm+k﹣2)|+…+|(xk+1﹣xk)|
≤(++…++1)|xk+1﹣xk|=|xk+1﹣xk|=·=,即證;
練習(xí)冊(cè)系列答案
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