拋物線y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)C，焦點(diǎn)為F．A、B是拋物線上的兩點(diǎn)．己知A．B，C三點(diǎn)共線，且|AF|、|AB|、|BF|成等差數(shù)列，直線AB的斜率為k，則有


  1. A.
    數(shù)學(xué)公式
  2. B.
    數(shù)學(xué)公式
  3. C.
    數(shù)學(xué)公式
  4. D.
    數(shù)學(xué)公式
D
分析：根據(jù)拋物線方程求出點(diǎn)C（-，0），可得直線AB方程為y=k（x-），將其與拋物線方程消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2和x1x2關(guān)于p、k的式子，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式算出|AB|=•．再利用拋物線的定義，得到|AF|+|BF|=x1+x2+p=+p，而|AF|、|AB|、|BF|成等差數(shù)列得出|AF|+|BF|=2|AB|，從而建立關(guān)于p、k的等式，化簡整理得•=，即可解出，得到本題答案．
解答：∵拋物線y2=2px的準(zhǔn)線方程為x=-，
∴準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)C坐標(biāo)為（-，0）
因此，得到直線AB方程為y=k（x-），與拋物線y2=2px消去y，
化簡整理，得，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由根與系數(shù)的關(guān)系得
∴|AB|==•
=•=•
∵|AF|、|AB|、|BF|成等差數(shù)列，
∴|AF|+|BF|=2|AB|，
根據(jù)拋物線的定義得|AF|=x1+，|BF|=x2+，
因此，得到x1+x2+p=2•，即+p=2•，
化簡得=，約去得•=
∴（1+k2）（1-k2）=，解之得k2=
故選：D
點(diǎn)評：本題給出拋物線準(zhǔn)線交對稱軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)C的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，A、B與焦點(diǎn)F構(gòu)成的三角形的三邊成等差數(shù)列，求直線AB的斜率．著重考查了拋物線的定義與簡單幾何性質(zhì)，直線與拋物線位置關(guān)系等知識點(diǎn)，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點(diǎn)A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，則拋物線的方程為（　　）
A、y2=
3
2
x
B、y2=9x
C、y2=
9
2
x
D、y2=3x

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2
2
．

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3
2
2
，則p的值為（　�。�

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過點(diǎn)A（-1，0）作拋物線y2=2px（p＞0）的兩條切線，切點(diǎn)分別為B、C，且△ABC是正三角形，則拋物線方程為
y2=
4
3
x
y2=
4
3
x
．

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