Question

【題目】如圖，在三棱錐V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB為等邊三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分別為AB，VA的中點．

（1）求證：VB∥平面MOC；

（2）求證：平面MOC⊥平面VAB

（3）求三棱錐V﹣ABC的體積．

Answer 1

【答案】（1）證明解析；（2）證明見解析；（3）．

【解析】試題分析：（1）由中位線定理可得OM∥BE，故而EB∥平面MOC；

（2）由等腰三角形三線合一可得OC⊥AB，由平面EAB⊥平面ABC可得OC⊥平面EAB，故而平面MOC⊥平面EAB；

（3）連結(jié)OE，則OE為棱錐的高，利用等邊三角形的性質(zhì)求出OE，代入體積計算．

證明：（1）證明：∵O，M分別為AB，EA的中點，∴OM∥BE，

又∵EB平面MOC，OM平面MOC，

∴EB∥平面MOC．

（2）∵AC=BC，O 為AB中點，∴OC⊥AB，

又∵平面EAB⊥平面ABC，平面EAB∩平面ABC=AB，

∴OC⊥平面EAB，又∵OC平面MOC，

∴平面MOC⊥平面 EAB．

（3）連結(jié)OE，則OE⊥AB，

又∵平面EAB⊥平面ABC，平面EAB∩平面ABC=AB，OE平面EAB，

∴OE⊥平面ABC．

∵AC⊥BC，AC=BC=，∴AB=2，

∵三角形EAB為等邊三角形，∴OE=．

∴三棱錐E﹣ABC的體積V=EO==．