Question

已知拋物線的焦點(diǎn)以及橢圓的上、下焦點(diǎn)及左、右頂點(diǎn)均在圓上．

（1）求拋物線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)的直線交拋物線于兩不同點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，已知，求的值；

（3）直線交橢圓于兩不同點(diǎn)，在軸的射影分別為，，若點(diǎn)滿足，證明：點(diǎn)在橢圓上．

 

Answer 1

【答案】

（1）拋物線，．（2）-1.（3）求出點(diǎn)S的坐標(biāo)，然后代入橢圓方程即可證明

【解析】

試題分析：（1）由拋物線的焦點(diǎn)在圓上得：，，∴拋物線                 2分

同理由橢圓的上、下焦點(diǎn)及左、右頂點(diǎn)均在圓上可解得：．得橢圓．                         4分

（2）設(shè)直線的方程為，則．

聯(lián)立方程組，消去得：

且                5分

由得：

整理得：

．      8分

（3）設(shè)，則

由得；① ；②

；③                        11分

由①+②+③得

∴滿足橢圓的方程，命題得證．      13分

考點(diǎn)：本題考查了拋物線、橢圓的綜合運(yùn)用

點(diǎn)評(píng)：解答圓錐曲線問題時(shí)，應(yīng)根據(jù)其幾何特征熟練的轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系（如方程、函數(shù)），再結(jié)合代數(shù)方法解答，這就要學(xué)生在解決問題時(shí)要充分利用數(shù)形結(jié)合、設(shè)而不求、弦長(zhǎng)公式及韋達(dá)定理綜合思考，重視對(duì)稱思想、函數(shù)與方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。