已知雙曲線的中心在原點,焦點在x軸上,其漸近線與圓x2+y2-10x+20=0相切.過點P(-4,0)作斜率為的直線l,交雙曲線左支于A,B兩點,交y軸于點C,且滿足|PA|•|PB|=|PC|2
(Ⅰ)求雙曲線的標準方程;
(Ⅱ)設點M為雙曲線上一動點,點N為圓上一動點,求|MN|的取值范圍.
【答案】分析:(Ⅰ)設雙曲線的漸近線方程為y=kx,根據(jù)題意可得:,所以設雙曲線方程為x2-4y2=m,再結合|PA|•|PB|=|PC|2可得4(xA+xB)+xAxB+32=0,進而聯(lián)立直線與雙曲線的方程即可解決問題,求出答案.
(Ⅱ)設點M(x,y),則x2-4y2=4,設圓心為D(0,2),即可表達出|MD|并且求出范圍,再利用圓的性質求出答案即可.
解答:解:(Ⅰ)設雙曲線的漸近線方程為y=kx,
因為漸近線與圓(x-5)2+y2=5相切,
所以,即,
所以雙曲線的漸近線方程為.(2分)
設雙曲線方程為x2-4y2=m,
代入雙曲線方程,整理得3x2+56x+112+4m=0.(4分)
所以.(5分)
因為|PA|•|PB|=|PC|2,點P,A,B,C共線,且點P在線段AB上,
所以(xP-xA)(xB-xP)=(xP-xC2,即(xB+4)(-4-xA)=16.
所以4(xA+xB)+xAxB+32=0.(7分)
于是,
解得m=4. (8分)
故雙曲線方程是x2-4y2=4,即.(9分)
(Ⅱ)設點M(x,y),則x2-4y2=4,設圓的圓心為D,則點D(0,2).
所以.(11分)
所以,從而
故|MN|的取值范圍是.(13分)
點評:解決此類問題的關鍵是熟練掌握雙曲線的標準方程與性質,以及圓與直線的位置關系與圓的有關性質,此題是一道綜合性較強的題,對計算能力有較高的要求.
練習冊系列答案
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已知雙曲線的中心在原點,焦點F1,F(xiàn)2在坐標軸上,離心率為
2
,且過點(4,-
10
)
,則雙曲線的標準方程是
x2-y2=6
x2-y2=6

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已知雙曲線的中心在原點,焦點F1,F(xiàn)2在坐標軸上,一條漸近線方程為y=x,且過點(4,-
10
)

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(2)設A點坐標為(0,2),求雙曲線上距點A最近的點P的坐標及相應的距離|PA|.

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已知雙曲線的中心在原點,焦點F1,F(xiàn)2在坐標軸上,一條漸近線方程為y=x,且過點(4,-
10
)
,A點坐標為(0,2),則雙曲線上距點A距離最短的點的坐標是
7
,1)
7
,1)

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(2012•豐臺區(qū)一模)已知雙曲線的中心在原點,焦點在x軸上,一條漸近線方程為y=
3
4
x
,則該雙曲線的離心率是
5
4
5
4

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