Question

【題目】已知點(diǎn)，點(diǎn)P在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)點(diǎn)Q滿(mǎn)足，記點(diǎn)Q的為曲線(xiàn)C.

（1）求曲線(xiàn)C的方程；

（2）設(shè)，過(guò)點(diǎn)D的直線(xiàn)交曲線(xiàn)C于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）設(shè)，由平面向量的知識(shí)可得，再由點(diǎn)P在曲線(xiàn)上代入即可得解；

（2）分直線(xiàn)AB的斜率是否存在討論；當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為，，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理可得，即可得證.

（1）設(shè)，由可得，

所以即，

因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線(xiàn)上，
所以即，整理得.

所以曲線(xiàn)C的方程為；

（2）證明：當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)AB與拋物線(xiàn)僅有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；

當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為，，

由，消去得，，

可知，，

直線(xiàn)AE，BE的斜率之和為

，

故AE，BE的傾斜角互補(bǔ)，

，

.