Question

12．正整數(shù)數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}-n，{a}_{n}＞n}\\{{a}_{n}+n，{a}_{n}≤n}\end{array}\right.$，將數(shù)列{a_n}中所有值為1的項的項數(shù)按從小到大的順序依次排列，得到數(shù)列{n_k}，則n_k+1=3n_k+1（k=1，2，3，…）．（用n_k表示）

Answer 1

分析 由已知條件可求出a₂、a₃、a₄、…，a₁₂、a₁₃、…，的值，得到n₁、n₂、n₃、…，歸納數(shù)列{n_k}中每一項的值與序號的關(guān)系，從而可得到n_k+1與n_k之間的關(guān)系式．

解答 解：將n=1代入a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}-n，{a}_{n}＞n}\\{{a}_{n}+n，{a}_{n}≤n}\end{array}\right.$得，a₂=a₁+1=2；
令n=2，代入得：a₃=a₂+2=4；
同理可得，a₄=1，a₅=5，a₆=10，a₇=4，a₈=11，a₉=3，a₁₀=12，a₁₁=2，a₁₂=13，a₁₃=1，…，
∴n₁=1，n₂=4，n₃=13，…，
n₂=3n₁+1，n₃=3n₂+1，…，
由歸納法知，n_k+1=3n_k+1（k=1，2，3，…）．
故答案為：3n_k+1（k=1，2，3，…）．

點評 本題考查數(shù)列遞推式的應(yīng)用，求出a₂、a₃、a₄、…，a₁₂、a₁₃、…，的值，得到n₁、n₂、n₃的值是關(guān)鍵，考查運算與推理能力，屬于難題．