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(2006•蚌埠二模)已知等差數列{an}的首項為p,公差為d(d>0).對于不同的自然數n,直線x=an與x軸和指數函數f(x)=(
12
)x
的圖象分別交于點An與Bn(如圖所示),記Bn的坐標為(an,bn),直角梯形A1A2B2B1、A2A3B3B2的面積分別為s1和s2,一般地記直角梯形AnAn+1Bn+1Bn的面積為sn
(1)求證數列{sn}是公比絕對值小于1的等比數列;
(2)設{an}的公差d=1,是否存在這樣的正整數n,構成以bn,bn+1,bn+2為邊長的三角形?并請說明理由;
(3)(理科做,文科不做)設{an}的公差d=1,是否存在這樣的實數p使得(1)中無窮等比數列{sn}各項的和S>2010?如果存在,給出一個符合條件的p值;如果不存在,請說明理由.(參考數據:210=1024)
分析:(1)an=p+(n-1)d,直角梯形AnAn+1Bn+1Bn的兩底長度AnBn=f(an),An+1Bn+1=f(an+1).高為AnAn+1 =d,利用梯形面積公式表示出sn.利用等比數列定義進行證明即可.
(2)an=-1+(n-1)=n-2,bn=(
1
2
n-2,以bn,bn+1,bn+2為邊長能構成一個三角形,則bn+2+bn+1>bn考查次不等式解的情況作解答.
(4)利用無窮等比數列求和公式,將S>2010 化簡為 S=
3
2p+1
>2010,探討p的存在性.
解答:解:(1)由等差數列通項公式可得an=p+(n-1)d,
bn=(
1
2
)an=(
1
2
)
p+(n-1)d
…(2分)
sn=
d
2
[(
1
2
)p+(n-1)d+(
1
2
)p+nd]=
d
2
•(
1
2
)p•[(
1
2
)(n-1)d+(
1
2
)nd]

對于任意自然數n,
sn+1
sn
=
(
1
2
)
nd
+(
1
2
)
(n+1)d
(
1
2
)
(n-1)d
+(
1
2
)
nd
=
1+(
1
2
)
d
2d+1
=(
1
2
)d

所以數列{sn}是等比數列且公比q=(
1
2
)d
,因為d>0,所以|q|<1.…(5分)
(寫成sn=
d
2
[(
1
2
)a1+nd+(
1
2
)a1+(n-1)d]=d•(1+2d)•(
1
2
)a1+1•(
1
2
)nd
,得公比q=(
1
2
)d
也可)
(2)an=p+(n-1)=n+p-1,bn=(
1
2
)n+p-1
,對每個正整數n,bn>bn+1>bn+2
若以bn,bn+1,bn+2為邊長能構成一個三角形,則bn+2+bn+1>bn
(
1
2
)n+p+1+(
1
2
)n+p>(
1
2
)n+p-1
,令n=-1,得1+2>4,這是不可能的.
所以對每一個正整數n,以bn,bn+1,bn+2為邊長不能構成三角形.…(10分)
(3)(理科做,文科不做)s1=
3
22+p
,q=
1
2
所以S=
s1
1-q
=
3
2p+1

如果存在p使得S=
3
2p+1
>2010
,即2p
3
4020
=
1
1340

兩邊取對數得:p<-log21340,
因此符合條件的p值存在,log21340≈10.4,可取p=-11等.…(14分)
說明:通過具體的p值,驗證S=
3
2p+1
>2010
也可.
點評:本題是函數與數列、不等式的結合.考查等比數列的判定,含參數不等式解的討論.考查分析解決問題,計算,邏輯思維等能力
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HC1
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a
、
b
、
c
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a
、
b
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c
=m
a
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b
,則
a
、
b
c
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2
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2
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C
2m+1
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C
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π
3
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