Question

設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F, 離心率為, 過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為.

(Ⅰ) 求橢圓的方程;

(Ⅱ) 設(shè)A, B分別為橢圓的左右頂點(diǎn), 過點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C, D兩點(diǎn). 若, 求k的值.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) (Ⅱ)

【解析】(Ⅰ)設(shè)，由知，，過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線為，代入橢圓方程有，解得，于是=，解得，又，從而，，所以橢圓的方程為.

(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)由F(-1,0)得直線CD的方程為,代入橢圓方程消去，整理得，求解可得，，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013081412420412261570/SYS201308141243000379218596_DA.files/image022.png">，，所以

+

===

=，

由已知得=8，解得.

本題第（Ⅰ）問，由于過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線為，所以代入橢圓方程，并結(jié)合離心率即可求出；第(Ⅱ)問，把直線CD的方程代入橢圓方程，然后由韋達(dá)定理，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，就可求出結(jié)果.在聯(lián)立方程組以及進(jìn)行平面向量的運(yùn)算時，注意計算要細(xì)心，聯(lián)立方程組后，用設(shè)而不求的思想.

【考點(diǎn)定位】本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、向量的運(yùn)算等基礎(chǔ)知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，以及用方程思想解決問題的能力.