Question

【題目】圓，直線.

（1）證明：不論取什么數(shù)，直線與圓恒交于兩點(diǎn)；

（2）求直線被圓截得的線段的最短長度，并求此時(shí)的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）先由直線的方程得到定點(diǎn)坐標(biāo)，再判斷出在圓內(nèi)，即可得出結(jié)論；

（2）由（1）可得，過點(diǎn)的所有弦中，弦心距，因此當(dāng)取最大值時(shí)，弦長最短，求出弦長，再由，即可求出結(jié)果.

（1）因?yàn)橹本�的方程可化為，

所以過直線與的交點(diǎn).

又因?yàn)辄c(diǎn)到圓心的距離，

所以點(diǎn)在圓內(nèi)，所以過點(diǎn)的直線與圓恒交于兩點(diǎn)．

（2）由（1）可知：過點(diǎn)的所有弦中，弦心距，

因?yàn)橄倚木�、半弦長和半徑構(gòu)成直角三角形，

所以當(dāng)時(shí)，半弦長的平方的最小值為，

所以弦長的最小值為.

此時(shí)，.

因?yàn)?/span>，所以，解得，

所以當(dāng)時(shí)，得到最短弦長為.