Question

19．在數(shù)列{a_n}中，a_n+1=a_n+a （n∈N^*，a為常數(shù)），若平面上的三個不共線的非零向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$滿足2$\overrightarrow{OC}$=a₂$\overrightarrow{OA}$+a₂₀₁₅$\overrightarrow{OB}$，三點A、B、C共線且該直線不過O點，則S₂₀₁₆等于（　�。�

• A． 2016
• B． 2017
• C． 1007
• D． 1008

Answer 1

分析 先可判斷數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，而根據(jù)$2\overrightarrow{OC}={a}_{2}\overrightarrow{OA}+{a}_{2015}\overrightarrow{OB}$及三點A，B，C共線即可得出$\frac{{a}_{2}+{a}_{2015}}{2}=1$，從而$\frac{{a}_{1}+{a}_{2016}}{2}=1$，根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式即可求出S₂₀₁₆的值．

解答 解：由a_n+1=a_n+a得，a_n+1-a_n=a；
∴{a_n}為等差數(shù)列；
由$2\overrightarrow{OC}={a}_{2}\overrightarrow{OA}+{a}_{2015}\overrightarrow{OB}$得，
$\overrightarrow{OC}=\frac{{a}_{2}}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{{a}_{2015}}{2}\overrightarrow{OB}$，且A，B，C三點共線；
∴$\frac{{a}_{2}}{2}+\frac{{a}_{2015}}{2}=1$；
∴${S}_{2016}=\frac{2016（{a}_{1}+{a}_{2016}）}{2}$
=$\frac{2016（{a}_{2}+{a}_{2015}）}{2}$
=2016．
故選A．

點評 考查等差數(shù)列的定義，三點A，B，C共線的充要條件：$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，且x+y=1，等差數(shù)列的通項公式，及等差數(shù)列的前n項和公式．