Question

6．如圖，已知四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是邊長為2的正方形，M、N分別為PB、PC的中點．
（1）證明：MN∥平面PAD；
（2）若PB與平面ABCD所成的角為45°，求三棱錐C-BDN的體積V．

Answer 1

分析 （1）由MN∥BC∥AD即可得出MN∥AD，從而得出結論；
（2）連接BD，由PD=BD=2$\sqrt{2}$得出N到平面ABCD的距離為h=$\sqrt{2}$，則V_C-BDN=V_N-BCD=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•h$．

解答 證明：（1）∵M，N是PB，PC的中點，
∴MN∥BC，又BC∥AD，
∴MN∥AD，又MN?平面PAD，AD?平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
（2）連接BD，則BD=2$\sqrt{2}$，
∵PD⊥底面ABCD，
∴∠PBD為PB與平面ABCD所成的角，
∴∠PBD=45°，
∴PD=BD=2$\sqrt{2}$，
∵N為PC的中點，
∴N到平面ABCD的距離h=$\frac{1}{2}$PD=$\sqrt{2}$，
∴V_C-BDN=V_N-BCD=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\sqrt{2}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查了線面平行的判定定理，棱錐的體積計算，屬于中檔題．