Question

【題目】已知拋物線(xiàn)E：焦點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F且斜率為2的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A、B兩點(diǎn)，且．

(1)求拋物線(xiàn)E的方程；

(2)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P，Q是拋物線(xiàn)E上分別位于x軸兩側(cè)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且

①證明：直線(xiàn)PQ必過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)G的坐標(biāo)；

②過(guò)G作PQ的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于C，D兩點(diǎn)，求四邊形PCQD面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①見(jiàn)解析，②88

【解析】

(1) 設(shè)直線(xiàn)：，聯(lián)立：，利用焦半徑公式可得的值，進(jìn)而可得拋物線(xiàn)E的方程；

(2) ①設(shè)直線(xiàn)PQ：聯(lián)立：得：，利用條件和韋達(dá)定理，可得的值，進(jìn)而可得定點(diǎn)G的坐標(biāo)；②求出和，進(jìn)而表示出四邊形PCQD面積，利用換元法可求得最小值.

解：(1) 設(shè)直線(xiàn)：，聯(lián)立：，得：，

∵，

∴p = 2，

∴拋物線(xiàn)方程為：；

(2) ①設(shè)直線(xiàn)PQ：

聯(lián)立：得：，

∴，

∵，

∴或（舍），

∴

②

同理

，

設(shè)，∴，

∵在遞增，

∴當(dāng)t = 2時(shí)，即時(shí)，∴