【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣.
(1)若a>0,試判斷f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性;
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值為,求實(shí)數(shù)a的值;
(3)若f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2);(3)見(jiàn)解析
【解析】試題分析:解 (1)由題意f(x)的定義域?yàn)?/span>(0,+∞),且f′(x)=+=.因?yàn)?/span>a>0,所以f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù). 3分
(2)由(1)可知,f′(x)=.
①若a≥-1,則x+a≥0,即f′(x)≥0在[1,e]上恒成立,此時(shí)f(x)在[1,e]上為增函數(shù),
所以f(x)min=f(1)=-a=,所以a=-(舍去). 5分
②若a≤-e,則x+a≤0,即f′(x)≤0在[1,e]上恒成立,此時(shí)f(x)在[1,e]上為減函數(shù),
所以f(x)min=f(e)=1-=a=-(舍去). 7分
③若-e<a<-1,令f′(x)=0得x=-a,當(dāng)1<x<-a時(shí),f′(x)<0,所以f(x)在[1,-a]上為減函數(shù);當(dāng)-a<x<e時(shí),f′(x)>0,所以f(x)在[-a,e]上為增函數(shù),所以f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=a=-.
綜上所述,a=-. 9分
(3)因?yàn)?/span>f(x)<x2,所以lnx-<x2.又x>0,所以a>xlnx-x3.
令g(x)=xlnx-x3,
h(x)=gspan>′(x)=1+lnx-3x2,h′(x)=-6x=. 11分
因?yàn)?/span>x∈(1,+∞)時(shí),h′(x)<0,h(x)在(1,+∞)上是減函數(shù).
所以h(x)<h(1)=-2<0,即g′(x)<0,
所以g(x)在[1,+∞)上也是減函數(shù),則g(x)<g(1)=-1,
所以a≥-1時(shí),f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立. 13分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于下列說(shuō)法正確的是( )
A.若f(x)是奇函數(shù),則f(x)是單調(diào)函數(shù)
B.命題“若x2﹣x﹣2=0,則x=1”的逆否命題是“若x≠1,則x2﹣x﹣2=0”
C.命題p:?x∈R,2x>1024,則¬p:?x0∈R,
D.命題“?x∈(﹣∞,0),2x<x2”是真命題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖長(zhǎng)方體中,,分別為棱,的中點(diǎn)
(1)求證:平面平面;
(2)請(qǐng)?jiān)诖痤}卡圖形中畫(huà)出直線(xiàn)與平面的交點(diǎn)(保留必要的輔助線(xiàn)),寫(xiě)出畫(huà)法并計(jì)算的值(不必寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本小題滿(mǎn)分分)
已知圓,過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)交圓于、兩點(diǎn).
(Ⅰ)當(dāng)經(jīng)過(guò)圓心時(shí),求直線(xiàn)的方程.
(Ⅱ)當(dāng)直線(xiàn)的傾斜角為時(shí),求弦的長(zhǎng).
(Ⅲ)求直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)時(shí),求以線(xiàn)段為直徑的圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在極坐標(biāo)系中,直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ+ )=1.以極點(diǎn)O為原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,圓C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)).若直線(xiàn)l與圓C相切,求r的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示的程序框圖的功能是( )
A.求數(shù)列{ }的前10項(xiàng)的和
B.求數(shù)列{ }的前11項(xiàng)的和
C.求數(shù)列{ }的前10項(xiàng)的和
D.求數(shù)列{ }的前11項(xiàng)的和
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知一元二次函數(shù).
(1)寫(xiě)出該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)如果該函數(shù)在區(qū)間上的最小值為,求實(shí)數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)().
(1)若不等式的解集為,求的取值范圍;
(2)當(dāng)時(shí),解不等式;
(3)若不等式的解集為,若,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某數(shù)學(xué)興趣小組為了研究人的腳的大小與身高的關(guān)系,隨機(jī)抽測(cè)了20位同學(xué),得到如下數(shù)據(jù):
序號(hào) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
身高(厘米) | 192 | 164 | 172 | 177 | 176 | 159 | 171 | 166 | 182 | 166 |
腳長(zhǎng)(碼) | 48 | 38 | 40 | 43 | 44 | 37 | 40 | 39 | 46 | 39 |
序號(hào) | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
身高(厘米) | 169 | 178 | 167 | 174 | 168 | 179 | 165 | 170 | 162 | 170 |
腳長(zhǎng)(碼) | 43 | 41 | 40 | 43 | 40 | 44 | 38 | 42 | 39 | 41 |
(Ⅰ)請(qǐng)根據(jù)“序號(hào)為5的倍數(shù)”的幾組數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程;
(Ⅱ)若“身高大于175厘米”的為“高個(gè)”,“身高小于等于175厘米”的為“非高個(gè)”;“腳長(zhǎng)大于42碼”的為“大腳”,“腳長(zhǎng)小于等于42碼”的為“非大腳”.請(qǐng)根據(jù)上表數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)說(shuō)明能有多大的把握認(rèn)為腳的大小與身高之間有關(guān)系.
附表及公式:,,.
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
列聯(lián)表:
高個(gè) | 非高個(gè) | 總計(jì) | |
大腳 | |||
非大腳 | |||
總計(jì) |
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