Question

8．已知橢圓$C：\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$上的動點P與其頂點$A（-\sqrt{3}，0）$，$B（\sqrt{3}，0）$不重合．
（Ⅰ）求證：直線PA與PB的斜率乘積為定值；
（Ⅱ）設(shè)點M，N在橢圓C上，O為坐標原點，當OM∥PA，ON∥PB時，求△OMN的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)點設(shè)P（x₀，y₀），從而可得直線PA與PB的斜率乘積為$\frac{y_0}{{{x_0}+\sqrt{3}}}×\frac{y_0}{{{x_0}-\sqrt{3}}}=\frac{y_0^2}{x_0^2-3}=\frac{6-2x_0^2}{3（x_0^2-3）}=-\frac{2}{3}$
（Ⅱ）設(shè)方程為y=kx+m，由兩點M，N滿足OM∥PA，ON∥PB及（Ⅰ）得直線OM，ON的斜率乘積為-$\frac{2}{3}$，可得到m、k的關(guān)系，再用弦長公式及距離公式，求出△OMN的底、高，表示：△OMN的面積即可．

解答 （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）證明：設(shè)P（x₀，y₀），則$\frac{{{x_0}^2}}{3}+\frac{{{y_0}^2}}{2}=1$．
所以直線PA與PB的斜率乘積為$\frac{y_0}{{{x_0}+\sqrt{3}}}×\frac{y_0}{{{x_0}-\sqrt{3}}}=\frac{y_0^2}{x_0^2-3}=\frac{6-2x_0^2}{3（x_0^2-3）}=-\frac{2}{3}$．…（4分）
（Ⅱ）依題直線OM，ON的斜率乘積為$-\frac{2}{3}$．
①當直線MN的斜率不存在時，直線OM，ON的斜率為$±\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，設(shè)直線OM的方程
是$y=\frac{{\sqrt{6}}}{3}x$，由$\left\{{\begin{array}{l}{2{x^2}+3{y^2}=6}\\{y=\frac{{\sqrt{6}}}{3}x}\end{array}}\right.$得$x=±\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，y=±1．
取$M（\frac{{\sqrt{6}}}{2}，1）$，則$N（\frac{{\sqrt{6}}}{2}，-1）$．所以△OMN的面積為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．
②當直線MN的斜率存在時，設(shè)直線MN的方程是y=kx+m，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{2{x^2}+3{y^2}-6=0}\end{array}}\right.$得（3k²+2）x²+6kmx+3m²-6=0．
因為M，N在橢圓C上，
所以△=36k²m²-4（3k²+2）（3m²-6）＞0，解得3k²-m²+2＞0．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則${x_1}+{x_2}=-\frac{6km}{{3{k^2}+2}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{3{m^2}-6}}{{3{k^2}+2}}$．$|{MN}|=\sqrt{（{k^2}+1）[{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}]}=\sqrt{（{k^2}+1）[{{（\frac{-6km}{{3{k^2}+2}}）}^2}-4×\frac{{3{m^2}-6}}{{3{k^2}+2}}]}$=$2\sqrt{\frac{{6（{k^2}+1）（3{k^2}-{m^2}+2）}}{{{{（3{k^2}+2）}^2}}}}$．
設(shè)點O到直線MN的距離為d，則$d=\frac{|m|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$．
所以△OMN的面積為${S_{△OMN}}=\frac{1}{2}×d×|{MN}|=\sqrt{\frac{{6{m^2}（3{k^2}-{m^2}+2）}}{{{{（3{k^2}+2）}^2}}}}$…①．
因為OM∥PA，ON∥PB，直線OM，ON的斜率乘積為$-\frac{2}{3}$，所以$\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=-\frac{2}{3}$．
所以$\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{{（k{x_1}+m）（k{x_2}+m）}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{{{k^2}{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}}}{{{x_1}{x_2}}}$=$\frac{{2{m^2}-6{k^2}}}{{3{m^2}-6}}$．
由$\frac{{2{m^2}-6{k^2}}}{{3{m^2}-6}}=-\frac{2}{3}$，得3k²+2=2m²…②
由①②，得${S_{△OMN}}=\sqrt{\frac{{6{m^2}（3{k^2}-{m^2}+2）}}{{{{（3{k^2}+2）}^2}}}}=\sqrt{\frac{{6{m^2}（2{m^2}-{m^2}）}}{{4{m^4}}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．
綜上所述，${S_{△OMN}}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．                      …（13分）

點評 本題考查了直線的斜率公式，三角形的面積公式，注意聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，考查運算能力，屬于中檔題