根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)f (x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是減函數(shù)．

證明見解析．


解析:

本小題考查函數(shù)單調(diào)性的概念，不等式的證明，以及邏輯推理能力．滿分10分．

證法一：在(－∞，+∞)上任取x1，x2且x1<x2                            ——1分

則f (x2) －f (x1) == (x1－x2) ()                     ——3分

∵ x1<x2，∴ x1－x2<0．                                            ——4分

當x1x2<0時，有= (x1+x2) 2－x1x2>0；                      ——6分

當x1x2≥0時，有>0；

∴ f (x2)－f (x1)= (x1－x2)()<0．                          ——8分

即  f (x2) < f (x1)，所以，函數(shù)f(x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是減函數(shù)．      ——10分

證法二：在(－∞，+∞)上任取x1，x2，且x1<x2，                       ——1分

則 f (x2)－f (x1)=x－x= (x1－x2) ()．                   ——3分

∵ x1<x2，∴ x1－x2<0．                                           ——4分

∵ x1，x2不同時為零，∴ x＋x>0．

又 ∵ x＋x>(x＋x)≥|x1x2|≥－x1x2。 ∴ >0，

   ∴  f (x2)－f (x1) = (x1－x2) ()<0．                     ——8分

即 f (x2) < f (x1)．所以，函數(shù)f (x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是減函數(shù)．       ——10分

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，判斷f(x)=
axx2+1
（a≠0）在[1，+∞）上的單調(diào)性并給出證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=log2
1+x1-x
．
（Ⅰ）求函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）判斷函數(shù)的奇偶性；
（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)f（x）是增函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=log2
1+x1-x
．
（Ⅰ）寫出函數(shù)的定義域；函數(shù)的奇偶性
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)f（x）是增函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=log2
x1-x
．
（Ⅰ）求函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)f（x）是增函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）已知函數(shù)y=
2x-4
（x≥2），求它的反函數(shù)．
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)f（x）=-x2+1在區(qū)間[0，+∞）上是減函數(shù)．

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