【題目】函數(shù)f(x)=xlnx-a(x-1)2-x,g(x)=lnx-2a(x-1),其中常數(shù)a∈R.

(Ⅰ)討論g(x)的單調(diào)性;

(Ⅱ)當(dāng)a>0時(shí),若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2(x1<x2),求證:在區(qū)間(1,+∞)上存在f(x)的極值點(diǎn)x0,使得x0lnx0+lnx0-2x0>0.

【答案】(Ⅰ)見解析 (Ⅱ)x0=e2

【解析】試題分析: 討論a0的大小;由第一問得當(dāng)a>0時(shí),在區(qū)間(0,1]上,f(x)<0是顯然的,即在此區(qū)間上f(x)沒有零點(diǎn);又由于f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),則必然f(x)在區(qū)間(1,+∞)上有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2(x1<x2),討論1的大小,構(gòu)造函數(shù)解出的值;

試題解析:

(Ⅰ)解:函數(shù)g(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),導(dǎo)函數(shù)為

①當(dāng)a≤0時(shí),g′(x)>0恒成立,g(x)在定義域(0,+∞)上是增函數(shù);

②當(dāng)a>0時(shí), ,并且,

在區(qū)間(0, )上,g′(x)>0,∴g(x)在(0, )是增函數(shù);

在區(qū)間(,+∞)上,g′(x)<0,∴g(x)在區(qū)間(,+∞)上是減函數(shù).

(Ⅱ)證明:當(dāng)a>0時(shí),在區(qū)間(0,1]上,f(x)<0是顯然的,即在此區(qū)間上f(x)沒有零點(diǎn);又由于f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),則必然f(x)在區(qū)間(1,+∞)上有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2(x1<x2),

f′(x)=lnx-2a(x-1),由(Ⅰ)知,f′(x)在區(qū)間(0, )上是增函數(shù),在區(qū)間(,+∞)上是減函數(shù).

①若,則,在區(qū)間(1,+∞)上,f′(x)是減函數(shù),f′(x)≤f′(1)=0,f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,不可能有兩個(gè)零點(diǎn),所以必然有

②當(dāng)時(shí),在區(qū)間(1, )上,f′(x)是增函數(shù),f′(x)>f′(1)=0;

在區(qū)間(,+∞)上,f′(x)是減函數(shù).依題意,必存在實(shí)數(shù)x0,使得在區(qū)間(,x0)上,f′(x)>0,f(x)是增函數(shù);在區(qū)間(x0,+∞)上,f′(x)<0,f(x)是減函數(shù).此時(shí)x0>1,且x0是f(x)的極大值點(diǎn).

所以f(x0)>0,且f′(x0)=0,即消去a得到x0lnx0+lnx0-2x0>0(x0>1).

設(shè)F(x)=xlnx+lnx-2x(x>1),

,∴x>1時(shí),F(xiàn)′(x)單調(diào)遞增.又F′(1)=0,

∴x>1時(shí),F(xiàn)′(x)>0.∴x>1時(shí),F(xiàn)(x)單調(diào)遞增.

又F(1)=-2<0,F(xiàn)(e2)=2>0.∴存在x0=e2>1滿足題意.

亦可直接觀察得到,x0=e2時(shí),e2lne2+lne2-2e2=2>0,滿足題意.

點(diǎn)睛: 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、最值,考查了分類討論的思想,屬于難題.證明不等式往往是根據(jù)題意構(gòu)造新函數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值,本題中因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)不能直接求出,可通過設(shè)出零點(diǎn),再證明函數(shù)在其兩側(cè)的單調(diào)性,說(shuō)明其為最小值點(diǎn),證其大于零.

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【題目】人耳的聽力情況可以用電子測(cè)聽器檢測(cè),正常人聽力的等級(jí)為0-25(分貝),并規(guī)定測(cè)試值在區(qū)間為非常優(yōu)秀,測(cè)試值在區(qū)間為優(yōu)秀.某班50名同學(xué)都進(jìn)行了聽力測(cè)試,所得測(cè)試值制成頻率分布直方圖:

(Ⅰ)現(xiàn)從聽力等級(jí)為的同學(xué)中任意抽取出4人,記聽力非常優(yōu)秀的同學(xué)人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望;

(Ⅱ)在(Ⅰ)中抽出的4人中任選一人參加一個(gè)更高級(jí)別的聽力測(cè)試,測(cè)試規(guī)則如下:四個(gè)音叉的發(fā)生情況不同,由強(qiáng)到弱的次序分別為1,2,3,4.測(cè)試前將音叉隨機(jī)排列,被測(cè)試的同學(xué)依次聽完后給四個(gè)音叉按發(fā)音的強(qiáng)弱標(biāo)出一組序號(hào), , (其中 , 為1,2,3,4的一個(gè)排列).若為兩次排序偏離程度的一種描述, ,求的概率.

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【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣2|x﹣a|(a∈R).
(1)若函數(shù)f(x)為偶函數(shù),求a的值;
(2)當(dāng)a>0時(shí),若對(duì)任意的x∈[0,+∞),不等式f(x﹣1)≤2f(x)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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【題目】共享單車是指由企業(yè)在校園、公交站點(diǎn)、商業(yè)區(qū)、公共服務(wù)區(qū)等場(chǎng)所提供的自行車單車共享服務(wù),由于其依托“互聯(lián)網(wǎng)+”,符合“低碳出行”的理念,已越來(lái)越多地引起了人們的關(guān)注.某部門為了對(duì)該城市共享單車加強(qiáng)監(jiān)管,隨機(jī)選取了100人就該城市共享單車的推行情況進(jìn)行問卷調(diào)查,并將問卷中的這100人根據(jù)其滿意度評(píng)分值(百分制)按照[50,60),[60,70),…,[90,100] 分成5組,制成如圖所示頻率分直方圖.

(Ⅰ) 求圖中的值;

(Ⅱ) 已知滿意度評(píng)分值在[90,100]內(nèi)的男生數(shù)與女生數(shù)的比為2:1,若在滿意度評(píng)分值為[90,100]的人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談,求所抽取的兩人中至少有一名女生的概率.

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【題目】已知A={﹣2,3a﹣1,a2﹣3},B={a﹣2,a﹣1,a+1},若A∩B={﹣2},求a的值.

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【題目】為了調(diào)查“五一”小長(zhǎng)假出游選擇“有水的地方”是否與性別有關(guān),現(xiàn)從該市“五一”出游旅客中隨機(jī)抽取500人進(jìn)行調(diào)查,得到如下2×2列聯(lián)表:(單位:人)

選擇“有水的地方”

不選擇“有水的地方”

合計(jì)

90

110

200

210

90

300

合計(jì)

300

200

500

(Ⅰ)據(jù)此樣本,有多大的把握認(rèn)為選擇“有水的地方”與性別有關(guān);

(Ⅱ)若以樣本中各事件的頻率作為概率估計(jì)全市“五一”所有出游旅客情況,現(xiàn)從該市的全體出游旅客(人數(shù)眾多)中隨機(jī)抽取3人,設(shè)3人中選擇“有水的地方”的人數(shù)為隨機(jī)變量X,求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望和方差.

附臨界值表及參考公式:

P(K2≥k0

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

,n=a+b+c+d.

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【題目】已知a>0且a≠1,下列四組函數(shù)中表示相等函數(shù)的是(
A.y=logax與y=(logxa)1
B.y=2x與y=logaa2x
C. 與y=x
D.y=logax2與y=2logax

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【題目】已知函數(shù)f(x)=|2x﹣a|,g(x)=x+1.

(1)若a=1,求不等式f(x)≤1的解集;

(2)對(duì)任意的x∈R,f(x)+|g(x)|≥a2+2a(a>0)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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【題目】已知

)若函數(shù)上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

)若,證明:,恒成立.

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