【題目】如圖,已知為等邊三角形,為等腰直角三角形,,平面平面ABD,點(diǎn)E與點(diǎn)D在平面ABC的同側(cè),且,.點(diǎn)F為AD中點(diǎn),連接EF.
(1)求證:平面ABC;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)取AB中點(diǎn)為O,連接OC、OF,證明四邊形OCEF為平行四邊形,EF∥OC,然后證明EF∥平面ABC;
(2)以O為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以、、的方向?yàn)?/span>x、y、z軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系.不妨令正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2,求出相關(guān)的的坐標(biāo),求出平面AEC的法向量,平面AED的法向量,取法向量的方向一進(jìn)一出,利用空間向量的公式求解即可.
(1)證明:取AB中點(diǎn)為O,連接OC、OF,∵O、F分別為AB、AD中點(diǎn),
∴OF∥BD且BD=2OF,又CE∥BD且BD=2CE,∴CE∥OF且CE=OF,∴四邊形OCEF為平行四邊形,∴EF∥OC,
又OC平面ABC且EF平面ABC,∴EF∥平面ABC.
(2)∵三角形ABC為等邊三角形,O為AB中點(diǎn),∴OC⊥AB,∵平面ABC⊥平面ABD且平面ABC∩平面ABD=AB,
又BD⊥AB且BD平面ABD,∴BD⊥平面ABC,又OF∥BD,∴OF⊥平面ABC,
以O為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以、、的方向?yàn)?/span>x、y、z軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系.
不妨令正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2,則O(0,0,0),A(1,0,0),,,D(﹣1,0,2),
∴,,設(shè)平面AEC的法向量為,則,
不妨令,則,
設(shè)平面AED的法向量為,
令
得,
∴,
∴所求二面角C﹣AE﹣D的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義在上的函數(shù)同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件:①對(duì)任意的恒有成立;②當(dāng)時(shí),.記函數(shù),若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A.B.C.D.
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【題目】已知橢圓:,直線交橢圓于,兩點(diǎn).
(1)若點(diǎn)滿足(為坐標(biāo)原點(diǎn)),求弦的長(zhǎng);
(2)若直線的斜率不為0且過(guò)點(diǎn),為點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn),點(diǎn)滿足,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若點(diǎn)為點(diǎn)在平面上的正投影,則記.如圖,在棱長(zhǎng)為的正方體中,記平面為,平面為,點(diǎn)是棱上一動(dòng)點(diǎn)(與、不重合),.給出下列三個(gè)結(jié)論:
①線段長(zhǎng)度的取值范圍是;
②存在點(diǎn)使得平面;
③存在點(diǎn)使得.
其中,所有正確結(jié)論的序號(hào)是( )
A.①②③B.②③C.①③D.①②
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【題目】設(shè)函數(shù)在上有定義,實(shí)數(shù)和滿足.若在區(qū)間上不存在最小值,則稱在區(qū)間上具有性質(zhì)P.
(1)當(dāng),且在區(qū)間上具有性質(zhì)P,求常數(shù)C的取值范圍;
(2)已知,且當(dāng)時(shí),,判別在區(qū)間上是否具有性質(zhì)P;
(3)若對(duì)于滿足的任意實(shí)數(shù)和,在區(qū)間上具有性質(zhì)P,且對(duì)于任意,當(dāng)時(shí),有:,證明:當(dāng)時(shí),.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的不等式(4kx﹣k2﹣12k﹣9)(2x﹣11)>0,其中k∈R,對(duì)于不等式的解集A,記B=A∩Z(其中Z為整數(shù)集),若集合B是有限集,則使得集合B中元素個(gè)數(shù)最少時(shí)的實(shí)數(shù)k的取值范圍是__.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法正確的是( )
A. 若命題均為真命題,則命題為真命題
B. “若,則”的否命題是“若”
C. 在,“”是“”的充要條件
D. 命題“”的否定為“”
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在集合的子集中選出4個(gè)不同的子集,需同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件:
(1),都要選出;(2)對(duì)選出的任意兩個(gè)子集和,必有或;
那么具有_______種不同的選法;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)共有10道選擇題,每道題共有四個(gè)選項(xiàng),且其中只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的,評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定:每選對(duì)1道題得5分,不選或選錯(cuò)得0分,某考試每道都選并能確定其中有6道題能選對(duì),其余4道題無(wú)法確定正確選項(xiàng),但這4道題中有2道能排除兩個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng),另2題只能排除一個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng),于是該生做這4道題時(shí)每道題都從不能排除的選項(xiàng)中隨機(jī)挑選一個(gè)選項(xiàng)做答,且各題做答互不影響.
(Ⅰ)求該考生本次測(cè)驗(yàn)選擇題得50分的概率;
(Ⅱ)求該考生本次測(cè)驗(yàn)選擇題所得分?jǐn)?shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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