Question

8．已知函數(shù)f（x）=ax³+（3-a）x在[-1，1]上的最大值為3，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [-$\frac{3}{2}$，3]
• B． [-$\frac{3}{2}$，12]
• C． [-3，3]
• D． [-3，12]

Answer 1

分析 分析四個選項，可發(fā)現(xiàn)C，D選項中a可以取-3，故代入a=-3，可排除選項；再注意A、C選項，故將a=12代入驗證即可；從而得到答案．

解答 解：當a=-3時，f（x）=-3x³+6x，x∈[-1，1]，y′=-9x²+6=0，可得x=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$，x∈[-1，-$\frac{\sqrt{6}}{3}$），（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，1]，y′＜0，函數(shù)是減函數(shù)，x=-1時，f（-1）=-3，f（x）極大值為：f（$\frac{\sqrt{6}}{3}$）=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$＞3，a=-3，不滿足條件，
故排除C，D．
當a=12時，f（x）=12x³-9x，x∈[-1，1]，y′=36x²-9=0，可得x=±$\frac{1}{2}$，x∈[-1，-$\frac{1}{2}$），（$\frac{1}{2}$，1]，y′＞0，函數(shù)是增函數(shù)，x=$-\frac{1}{2}$時，極大值為：-$\frac{12}{8}+\frac{9}{2}$=3，滿足題意．排除A．
故選：B．

點評 本題考查了函數(shù)的最值的求法及排除法的應用，屬于中檔題．