已知拋物線的焦點為雙曲線的一個焦點,且兩條曲線都經(jīng)過點.
(1)求這兩條曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知點在拋物線上,且它與雙曲線的左,右焦點構(gòu)成的三角形的面積為4,求點 的坐標(biāo).
(1),;(2)或.
解析試題分析:(1)可以先利用待定系數(shù)法可以先求拋物線方程,然后利用定義法或待定系數(shù)法求出雙曲線方程;
(2)先利用三角形的面積是4,求出點p的縱坐標(biāo)是,再利用點P在拋物線上,求出橫坐標(biāo)即可.
試題解析:(1)∵拋物線經(jīng)過點,
∴,解得,
∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 3分
∴拋物線的焦點為,∴雙曲線的焦點為.
法一:∴ ,,
∴, . 5分
∴.
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 8分
法二:,∵雙曲線經(jīng)過點,∴, 5分
解得 ,.
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 8分
(2)設(shè)點的坐標(biāo)為,由題意得,
,∴, 11分
∵點在拋物線上,∴,∴點的坐標(biāo)為或. 14分
考點:(1)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線的焦點為橢圓的右焦點,且橢圓的長軸長為4,M、N是橢圓上的的動點.
(1)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)動點滿足:,直線與的斜率之積為,證明:存在定點使
得為定值,并求出的坐標(biāo);
(3)若在第一象限,且點關(guān)于原點對稱,垂直于軸于點,連接 并延長交橢圓于點,記直線的斜率分別為,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
若兩個橢圓的離心率相等,則稱它們?yōu)椤跋嗨茩E圓”.如圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C1:=1,A1,A2分別為橢圓C1的左、右頂點.橢圓C2以線段A1A2為短軸且與橢圓C1為“相似橢圓”.
(1)求橢圓C2的方程;
(2)設(shè)P為橢圓C2上異于A1,A2的任意一點,過P作PQ⊥x軸,垂足為Q,線段PQ交橢圓C1于點H.求證:H為△PA1A2的垂心.(垂心為三角形三條高的交點)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知A,B,C是橢圓W:+y2=1上的三個點,O是坐標(biāo)原點.
(1)當(dāng)點B是W的右頂點,且四邊形OABC為菱形時,求此菱形的面積;
(2)當(dāng)點B不是W的頂點時,判斷四邊形OABC是否可能為菱形,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,焦距為的橢圓的兩個頂點分別為和,且與n,共線.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線與橢圓有兩個不同的交點和,且原點總在以為直徑的圓的內(nèi)部,
求實數(shù)的取值范圍.
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已知雙曲線(其中).
(1)若定點到雙曲線上的點的最近距離為,求的值;
(2)若過雙曲線的左焦點,作傾斜角為的直線交雙曲線于、兩點,其中,是雙曲線的右焦點.求△的面積.
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在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點為極點,軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知曲線的極坐標(biāo)方程為,直線的參數(shù)方程為為參數(shù),).
(1)化曲線的極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線經(jīng)過點,求直線被曲線截得的線段的長.
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已知點、,動點滿足:,且
(1)求動點的軌跡的方程;
(2)已知圓W: 的切線與軌跡相交于P,Q兩點,求證:以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知橢圓: 的離心率為 ,點 為其下焦點,點為坐標(biāo)原點,過 的直線 :(其中)與橢圓 相交于兩點,且滿足:.
(1)試用 表示 ;
(2)求 的最大值;
(3)若 ,求 的取值范圍.
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