Question

10．△ABC的三個(gè)內(nèi)角為A，B，C，若$\frac{{\sqrt{3}sinA+cosA}}{{\sqrt{3}cosA-sinA}}=tan\frac{5π}{12}$，則sin（B+C）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 依題意，可求得tan（A+$\frac{π}{6}$）=tan$\frac{5π}{12}$，從而可求得A=$\frac{π}{4}$，繼而可得答案．

解答 解：∵$\frac{\sqrt{3}sinA+cosA}{\sqrt{3}cosA-sinA}$=$\frac{2sin（A+\frac{π}{6}）}{2cos（A+\frac{π}{6}）}$=tan（A+$\frac{π}{6}$），
又$\frac{5π}{12}$=$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{6}$，$\frac{{\sqrt{3}sinA+cosA}}{{\sqrt{3}cosA-sinA}}=tan\frac{5π}{12}$，A為△ABC的一個(gè)內(nèi)角，
∴A=$\frac{π}{4}$，
則sin（B+C）=sin（π-A）=sinA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查輔助角公式的應(yīng)用，求得∠A=$\frac{π}{4}$是關(guān)鍵，屬于中檔題．