平面內(nèi)與兩定點(diǎn)A1（-a，0），A2（a，0）（a＞0）連線(xiàn)的斜率之積等于非零常數(shù)m的點(diǎn)的軌跡，加上A1、A2兩點(diǎn)所在所面的曲線(xiàn)C可以是圓、橢圓或雙曲線(xiàn)．求曲線(xiàn)C的方程，并討論C的形狀與m的位置關(guān)系．
分析：設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用斜率乘積求出曲線(xiàn)軌跡方程，然后討論 m的值，判斷曲線(xiàn)是圓、橢圓或雙曲線(xiàn)時(shí)m的值的情況．
解答：解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M，其坐標(biāo)（x，y）．
當(dāng)x≠±a時(shí)，由條件可得k m 1•k m2=
y
x-a
•
y
x+a
=
y2
x2-a2
=m，
即mx2-y2=ma2（x≠±a）．又A1（-a，0），A2（a，0）的坐標(biāo)滿(mǎn)足mx2-y2=ma2．
故依題意，曲線(xiàn)C的方程為mx2-y2=ma2．
當(dāng)m＜-1時(shí)，曲線(xiàn)C的方程為
x2
a2
+
y2
-ma2
=1，C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；
當(dāng)m=-1時(shí)，曲線(xiàn)C的方程為x2+y2=a2，C是圓心在原點(diǎn)的圓；
當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，曲線(xiàn)C 的方程為
x2
a2
+
y2
-ma2
=1，C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；
當(dāng)m＞0時(shí)，曲線(xiàn)C的方程為
x2
a2
-
y2
ma2
=1，C是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線(xiàn)軌跡方程的求法，曲線(xiàn)與方程的關(guān)系的應(yīng)用，圓錐曲線(xiàn)的判斷，考查分類(lèi)討論思想的應(yīng)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)A1（-a，0），A2（a，0）（a＞0）連線(xiàn)的斜率之積等于非零常數(shù)m的點(diǎn)的軌跡，加上A1、A2兩點(diǎn)所成的曲線(xiàn)C可以是圓、橢圓成雙曲線(xiàn)．
（Ⅰ）求曲線(xiàn)C的方程，并討論C的形狀與m值的關(guān)系；
（Ⅱ）當(dāng)m=-1時(shí)，對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)為C1；對(duì)給定的m∈（-1，0）∪（0，+∞），對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)為C2，設(shè)F1、F2是C2的兩個(gè)焦點(diǎn)．試問(wèn)：在C1上，是否存在點(diǎn)N，使得△F1NF2的面積S=|m|a2．若存在，求tanF1NF2的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

記平面內(nèi)與兩定點(diǎn)A1（-2，0），A2（2，0）連線(xiàn)的斜率之積等于常數(shù)m（其中m＜0）的動(dòng)點(diǎn)B的軌跡，加上A1，A2兩點(diǎn)所構(gòu)成的曲線(xiàn)為C
（I）求曲線(xiàn)C的方程，并討論C的形狀與m的值的關(guān)系；
（Ⅱ）當(dāng)m=-
3
4
時(shí)，過(guò)點(diǎn)F（1，0）且斜率為k（k#0）的直線(xiàn)l1交曲線(xiàn)C于M．N兩點(diǎn)，若弦MN的中點(diǎn)為P，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)l2交x軸于點(diǎn)Q，且滿(mǎn)足
MN
•
PQ
=0．試求
|
PQ
|
|
MN
|
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)A1（-a，0），A2（a，o）（a＞0）連線(xiàn)的斜率之積等于非零常數(shù)m的點(diǎn)的軌跡，加上A1，A2兩點(diǎn)所成的曲線(xiàn)C可以是圓、橢圓或雙曲線(xiàn)．那么當(dāng)m滿(mǎn)足條件
m=-1
m=-1
時(shí)，曲線(xiàn)C是圓；當(dāng)m滿(mǎn)足條件
m＞0
m＞0
 時(shí)，曲線(xiàn)C是雙曲線(xiàn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)A1（-2，0），A2（2，0）連線(xiàn)的斜率之積等于非零常數(shù)m的點(diǎn)的軌跡，加上A1，A2兩點(diǎn)，所成的曲線(xiàn)C可以是圓，橢圓或雙曲線(xiàn)．
（I）求曲線(xiàn)C的方程，并討論C的形狀與m值的關(guān)系．
（Ⅱ）當(dāng)m=-1時(shí)，對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)為C1；對(duì)給定的m∈（-∞，-1），對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)為C2，若曲線(xiàn)C1的斜率為1的切線(xiàn)與曲線(xiàn)C2相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，且
OA
•
OB
=2（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求曲線(xiàn)C2的方程．

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