如圖所示,已知在圓錐SO中,底面半徑r=1,母線長l=4,M為母線SA上的一個點,且SM=x,從點M拉一根繩子,圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點A,求:
(1)設f(x)為繩子最短長度的平方,求f(x)表達式;
(2)繩子最短時,頂點到繩子的最短距離;
(3)f(x)的最大值.
(1)f(x)=AM2=x2+16(0≤x≤4)(2)(3)32
【解析】
試題分析:將圓錐的側(cè)面沿SA展開在平面上,如圖,則該展開圖為扇形,且弧AA′的長度L就是⊙O的周長,
∴L=2πr=2π.∴∠ASA′=×360°=×360°=90°,
(1)由題意知,繩長的最小值為展開圖中的AM,其值為AM= (0≤x≤4),
∴f(x)=AM2=x2+16(0≤x≤4).
(2)繩子最短時,在展開圖中作SR⊥AM,垂足為R,則SR的長度為頂點S到繩子的最短距離.在△SAM中,∵S△SAM=SA·SM=AM· SR,
∴SR== (0≤x≤4).
(3)∵f(x)=x2+16(0≤x≤4)是增函數(shù),∴f(x)的最大值為f(4)=32.
考點:本小題主要考查扇形的弧長、面積公式等的應用,考查學生的運算求解能力.
點評:解決此類問題的關鍵是正確轉(zhuǎn)化,將所要求解的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學問題進行解決.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:044
如圖所示,已知圓錐的底面半徑為R,高為H,在其中有一個高為x,下底面半徑與上底面半徑之比為λ(0<λ<1)的內(nèi)接圓臺.試問:當x為何值時,圓臺的體積最大?并求出這個最大的體積.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源:數(shù)學教研室 題型:044
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com