【例】

已知函數(shù)y=sin2x+cos2x-2.

(1)用“五點法”作出函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象;

(2)求這個函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間;

(3)求函數(shù)圖象的對稱軸方程.

(4)說明圖象是由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到的.

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T==π,單調(diào)增區(qū)間為[-π+kπ+kπ],k∈Z;,函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為[+kπ,π+kπ],k∈Z


解析:

解: y=sin2x+cos2x-2=2sin(2x+)-2.

(1)列表

x

π

π

2x+

0

π

π

y=2sin(2x+)-2

-2

0

-2

-4

-2

 其圖象如下圖所示.

(2)T==π.

由-+2kπ≤2x++2kπ,知函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[-π+kπ+kπ],k∈Z;

+2kπ≤2x+π+2kπ,知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為[+kπ,π+kπ],k∈Z.

(3)由2x+=+kπ得x=+π.

∴函數(shù)圖象的對稱軸方程為x=+π(k∈Z).

(4)把函數(shù)y1=sinx的圖象上所有的點向左平移個單位,得到函數(shù)y2=sin(x+)的圖象;

再把y2圖象上各點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變),得到y3=sin(2x+)的圖象;

再把y3圖象上各點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變),得到y4=2sin(2x+)的圖象;

最后把y4圖象上所有的點向下平移2個單位,得到函數(shù)y=2sin(2x+)-2的圖象.

評注:(1)求函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)間、最值等問題,一般都要化成一個角的三角函數(shù)形式.

(2)對于函數(shù)y=Asin(ωx+)的對稱軸,實際上就是使函數(shù)y取得最大值或最小值時的x值.

(3)第(4)問的變換方法不唯一,但必須特別注意平移變換與伸縮變換的先后順序.

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