Question

已知函數(shù)f（x）=sinx+acos²

x

2

，其中a為常數(shù)，且x=

π

2

是函數(shù)f（x）的一個(gè)零點(diǎn)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用函數(shù)的零點(diǎn)確定函數(shù)的解析式，進(jìn)一步求出函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論進(jìn)一步利用定義域確定函數(shù)的值域．

解答： 解：（Ⅰ）x=

π

2

是函數(shù)f（x）的一個(gè)零點(diǎn)．
即x=

π

2

是方程f（x）=0的解．
f（

π

2

）=0
解得：a=-2．
所以：f（x）=sinx-2cos²

x

2

=

2

sin(x-

π

4

)-1，
函數(shù)的周期為：T=2π，
令：-

π

2

+2kπ≤x-

π

4

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），
解得：-

π

4

+2kπ≤x≤

3π

4

+2kπ，
所以：函數(shù)的遞增區(qū)間為：[-

π

4

+2kπ，

3π

4

+2kπ]；
（Ⅱ）由于：0≤x≤π，
所以：-

π

4

≤x-

π

4

≤

3π

4

，
sin(x-

π

4

)∈[-

2

2

，1]，
所以：-2≤f(x)≤

2

-1，
函數(shù)的值域?yàn)椋篺（x）∈[-2，

2

-1]．

點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：利用函數(shù)的零點(diǎn)確定函數(shù)的解析式，進(jìn)一步確定函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間．進(jìn)一步根據(jù)函數(shù)的定義域求函數(shù)的值域．屬于基礎(chǔ)題型．