Question

（13分）（2011•天津）設(shè)橢圓+=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂．點(diǎn)P（a，b）滿足|PF₂|=|F₁F₂|．
（Ⅰ）求橢圓的離心率e；
（Ⅱ）設(shè)直線PF₂與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若直線PF₂與圓（x+1）²+=16相交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|=|AB|，求橢圓的方程．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）+=1

解析試題分析：（Ⅰ）直接利用|PF₂|=|F₁F₂|，對(duì)應(yīng)的方程整理后即可求橢圓的離心率e；
（Ⅱ）先把直線PF₂與橢圓方程聯(lián)立求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)以及對(duì)應(yīng)的|AB|兩點(diǎn)，進(jìn)而求出|MN|，再利用弦心距，弦長(zhǎng)以及圓心到直線的距離之間的等量關(guān)系，即可求橢圓的方程．
解：（Ⅰ）設(shè)F₁（﹣c，0），F(xiàn)₂（c，0）   （c＞0）．
由題得|PF₂|=|F₁F₂|，即=2c，整理得2+﹣1=0，得=﹣1（舍），或=，
所以e=．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2c，b=c，可得橢圓方程為3x²+4y²=12c²，直線方程PF₂為y=（x﹣c）．
A，B的坐標(biāo)滿足方程組，
消y并整理得5x²﹣8xc=0，
解得x=0，x=，得方程組的解為，，
不妨設(shè)A（c，c），B（0，﹣c）．
所以|AB|==c，于是|MN|=|AB|=2c．
圓心（﹣1，）到直線PF₂的距離d=，
因?yàn)閐²+=4²，所以（2+c）²+c²=16，整理得c=﹣（舍）或c=2．
所以橢圓方程為+=1．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的方程和幾何性質(zhì)，直線的方程，兩點(diǎn)間的距離公式以及點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查解決問(wèn)題的能力和運(yùn)算能力．