Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1+x}{1-x}$e^-ax，若對任意x∈（0，1），恒有f（x）＞1，則實數(shù)a的取值范圍為（　　）

• A． （-∞，2]
• B． （-∞，0]
• C． [0，+∞）
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 確定函數(shù)的定義域，求導函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，分類討論，即可得到結(jié)論．

解答 解：函數(shù)的定義域為（-∞，1）∪（1，+∞）
求導函數(shù)可得f′（x）=$\frac{{ax}^{2}+2-a}{{（1-x）}^{2}}$e^-ax，
當0＜a≤2時，f′（x）＞0，函數(shù)在（-∞，1）和（1，+∞）上為增函數(shù)，
對任意x∈（0，1）恒有f（x）＞f（0）=1；
當a＞2時，函數(shù)在（-∞，-$\sqrt{\frac{a-2}{a}}$），（ $\sqrt{\frac{a-2}{a}}$，1）和（1，+∞）上為增函數(shù)，在（-$\sqrt{\frac{a-2}{a}}$，-$\sqrt{\frac{a-2}{a}}$）上為減函數(shù)，
取x₀=$\frac{1}{2}$ $\sqrt{\frac{a-2}{a}}$∈（0，1），則f（x₀）＜f（0）=1；
當a≤0時，對任意x∈（0，1）恒有 $\frac{1+x}{1-x}$＞1且e^-ax≥1，
∴f（x）≥$\frac{1+x}{1-x}$＞1，
綜上，當且僅當a∈（-∞，2]時，對任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1，
故選：A．

點評 本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學思想，綜合性強，屬于中檔題．