Question

下列命題：
①△ABC中，若A＜B，則cos2A＜cos2B；
②若A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，則的最小值為
③已知（n∈N^*），則數(shù)列{a_n}中的最小項(xiàng)為；
④若函數(shù)f（x）=log₂（x+1），且0＜a＜b＜c，則；
⑤函數(shù)的最小值為．
其中所有正確命題的序號(hào)是    ．

Answer 1

【答案】分析：①先有正弦定理判斷出sinA與sinB的大小關(guān)系，然后再利用余弦的倍角公式展開(kāi)進(jìn)行化簡(jiǎn)討論．
②先利用A+B+C=π，進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后利用基本不等式進(jìn)行證明．
③將數(shù)列轉(zhuǎn)化為基本不等式的形式，然后利用基本不等式進(jìn)行判斷．
④構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為斜率的大小進(jìn)行判斷．
⑤先配方，將根式轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離之和的最小值來(lái)求．
解答：解：①①△ABC中，若A＜B，則a＜b，由正弦定理得0＜sinA＜sinB，又cos?2A=1-2sin?²A，cos?2B=1-2sin?²B，所以cos2A＞cos2B，所以①錯(cuò)誤．
②因?yàn)锳+B+C=π，α=A，β=B+C，α+β=π，所以，原式等價(jià)為=，當(dāng)且僅當(dāng)，即α=2β時(shí)取等號(hào)．所以②正確．
③因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103172136308653194/SYS201311031721363086531014_DA/6.png">=，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103172136308653194/SYS201311031721363086531014_DA/8.png">，所以設(shè)，則1≤t≤3．因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間（0，4）上單調(diào)遞減，所以在[1，3]上單調(diào)遞減，所以當(dāng)t=3時(shí)，函數(shù)有最小值，則對(duì)應(yīng)數(shù)列{a_n}中的最小項(xiàng)為，所以③正確．
④令g（x）=，則函數(shù)g（x）的幾何意義為曲線上點(diǎn)與原點(diǎn)連線斜率的大�。�由題意可知分別看作函數(shù)f（x）=log₂（x+1）圖象上的點(diǎn)（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（b））與原點(diǎn)連線的斜率，由圖象可知，所以④錯(cuò)誤．
⑤原式可化簡(jiǎn)為，設(shè)點(diǎn)P（x，0），A（1，2），B（2，3），
則原式等價(jià)為|PA|+|PB|的最小值，找出點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D（1，-2）．則|PA|+|PB|=|PD|+|PB|≥|PD|，所以最小值為．所以⑤錯(cuò)誤．
所有正確命題的序號(hào)是②③．
故答案為：②③．
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了基本不等式的應(yīng)用，以及對(duì)復(fù)雜問(wèn)題，要根據(jù)幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思路．對(duì)學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，運(yùn)算能力都有很高的要求，這類問(wèn)題的難度較大，綜合性較強(qiáng)．