Question

已知定圓C：x²+（y-3）²=4，過(guò)點(diǎn)A（-1，0）的一條動(dòng)直線(xiàn)l與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，若|PQ|=2

3

，則直線(xiàn)l的方程為（　　）

A．4x-3y+4=0

B．3x-4y+3=0

C．4x-3y+4=0或x=-1

D．x=-1

Answer 1

分析：根據(jù)題意畫(huà)出圖形，過(guò)C作CM垂直于PQ，根據(jù)垂徑定理得到M為弦PQ的中點(diǎn)，求出|PM|的長(zhǎng)，由圓的半徑和|PM|，利用勾股定理求出|CM|，即為圓心C到直線(xiàn)l的距離，分兩種情況：直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，顯然直線(xiàn)x=-1滿(mǎn)足題意；當(dāng)直線(xiàn)l斜率存在時(shí)，設(shè)出斜率為k，由直線(xiàn)l過(guò)A點(diǎn)，表示出直線(xiàn)l的方程，然后利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式表示出圓心到直線(xiàn)l的距離d，讓d等于求出的|CM|列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，從而確定出直線(xiàn)l的方程，綜上，得到所有滿(mǎn)足題意的直線(xiàn)l的方程．

解答：解：由題意畫(huà)出圖形，如圖所示：
過(guò)圓心C作CM⊥PQ，則|MP|=|MQ|=

1

2

|PQ|=

3

，
由圓C的方程得到圓心C坐標(biāo)（0，3），半徑r=2，
在Rt△CPM中，根據(jù)勾股定理得：CM=1，即圓心到直線(xiàn)的距離為1，
（i）直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，顯然直線(xiàn)x=-1滿(mǎn)足題意；
（ii）直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的斜率為k，由A（-1，0），
得到直線(xiàn)l的方程為y=k（x+1），即kx-y+k=0，
圓心到直線(xiàn)l的距離d=

|-3+k|

1+k2

=1，解得k=

4

3

，
所以直線(xiàn)l為4x-3y+4=0，
綜上，滿(mǎn)足題意的直線(xiàn)l為x=-1或4x-3y+4=0．
故選C

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，利用了數(shù)形結(jié)合及分類(lèi)討論的思想，用到的知識(shí)有：垂徑定理，勾股定理及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式．若直線(xiàn)與圓相交時(shí)，常常利用弦長(zhǎng)的一半，圓的半徑及弦心距構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．解本題時(shí)注意滿(mǎn)足題意的直線(xiàn)l有兩條，不要漏解．