Question

15．若平面向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$滿足$|\overrightarrow a|=\sqrt{2}，|\overrightarrow b|=2，（\overrightarrow a-\overrightarrow b）⊥\overrightarrow a$
（1）求$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角θ；
（2）求$|2\overrightarrow a+\overrightarrow b|$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）⊥\overrightarrow{a}$即可得到$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•\overrightarrow{a}=0$，從而可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$的值，進而得出cosθ的值，從而得出θ的值；
（2）根據(jù)條件及求得的$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$的值，可以求出$（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}$的值，從而可求出$|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow|$的值．

解答 解：（1）$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）⊥\overrightarrow{a}$；
∴$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•\overrightarrow{a}={\overrightarrow{a}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow=2-\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=2$；
∴$cosθ=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
又θ∈[0，π]；
∴$θ=\frac{π}{4}$；
（2）$（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}=4{\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}$=8+8+4=20；
∴$|2\overrightarrow a+\overrightarrow b|=2\sqrt{5}$．

點評 考查向量垂直的充要條件，向量數(shù)量積的運算，向量夾角的余弦公式，以及向量夾角的范圍．