【題目】已知橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為，，離心率為，過的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且的周長為8.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓分別交于，兩點(diǎn)，且，試問點(diǎn)到直線的距離是否為定值，證明你的結(jié)論.

【答案】（1）（2）是，證明見解析

【解析】

（1）由題意可知：，，即可求得和的值，求得橢圓方程；

（2）分類討論，當(dāng)直線斜率存在時，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，求得和的關(guān)系，利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得點(diǎn)到直線的距離是否為定值．

（1）由題意知，，，

由橢圓離心率，則.

橢圓的方程；

（2）由題意，當(dāng)直線的斜率不存在，

因?yàn)?/span>，此時可設(shè)，.

又在，兩點(diǎn)在橢圓上，

，，

點(diǎn)到直線的距離，

當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為.

設(shè)，聯(lián)立方程組，

消去得：.

由已知，，，

由，則，

即，

整理得:，

，

，滿足，

點(diǎn)到直線的距離為定值.

綜上可知：點(diǎn)到直線的距離為定值.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】第31屆夏季奧林匹克運(yùn)動會于2016年8月5日至8月21日在巴西里約熱內(nèi)盧舉行．如表是近五屆奧運(yùn)會中國代表團(tuán)和俄羅斯代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（單位：枚）．

第30屆倫敦

第29屆北京

第28屆雅典

第27屆悉尼

第26屆亞特蘭大

中國

38

51

32

28

16

俄羅斯

24

23

27

32

26

（1）根據(jù)表格中兩組數(shù)據(jù)在答題卡上完成近五屆奧運(yùn)會兩國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的平均值及分散程度（不要求計(jì)算出具體數(shù)值，給出結(jié)論即可）；

（2）如表是近五屆奧運(yùn)會中國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)之和（從第26屆算起，不包括之前已獲得的金牌數(shù)）隨時間變化的數(shù)據(jù)：

時間（屆）

26

27

28

29

30

金牌數(shù)之和（枚）

16

44

76

127

165

作出散點(diǎn)圖如圖：

由圖可以看出，金牌數(shù)之和與時間之間存在線性相關(guān)關(guān)系，請求出關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測從第26屆到第32屆奧運(yùn)會時中國代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)之和為多少？

附：對于一組數(shù)據(jù)， ，…， ，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某中學(xué)高三年級有400名學(xué)生參加月考，用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取了一個容量為50的樣本，得到數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示.

（1）求第四個小矩形的高；

（2）估計(jì)本校在這次統(tǒng)測中數(shù)學(xué)成績不低于120分的人數(shù)；

（3）已知樣本中，成績在內(nèi)的有兩名女生，現(xiàn)從成績在這個分?jǐn)?shù)段的學(xué)生中隨機(jī)選取2人做學(xué)習(xí)交流，求恰好男生女生各有一名的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)＝x2－1，g(x)＝

(1)求f[g(2)]和g[f(2)]的值；

(2)求f[g(x)]和g[f(x)]的表達(dá)式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與軸垂直，求的極值；

（Ⅱ）討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與地面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑，首屆中國國際進(jìn)口博覽會的某展館棚頂一角的鋼結(jié)構(gòu)可以抽象為空間圖形陽馬，如圖所示，在陽馬中，底面.

（1）已知，斜梁與底面所成角為，求立柱的長；（精確到）

（2）求證：四面體為鱉臑.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知為常數(shù)，函數(shù)

（1）過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，設(shè)切點(diǎn)為，求；

（2）令，若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某汽車生產(chǎn)廠家為了解某型號電動汽車的“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”，收集了使用該型號電動汽車年以上的部分客戶的相關(guān)數(shù)據(jù)，得到他們的電動汽車的“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”．從年齡在40歲以下的客戶中抽取10位歸為A組，從年齡在40歲（含40歲）以上的客戶中抽取10位歸為B組，將他們的電動汽車的“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”整理成下圖，其中“+”表示A組的客戶，“⊙”表示B組的客戶．

注：“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”是指電動汽車的行駛總里程與充電次數(shù)的比值．

（Ⅰ）記A，B兩組客戶的電動汽車的“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”的平均值分別為，，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，試比較，的大�。ńY(jié)論不要求證明）；

（Ⅱ）從A，B兩組客戶中隨機(jī)抽取2位，求其中至少有一位是A組的客戶的概率；

（III）如果客戶的電動汽車的“實(shí)際平均續(xù)航里程數(shù)”不小于350，那么稱該客戶為“駕駛達(dá)人”．從A，B兩組客戶中，各隨機(jī)抽取1位，記“駕駛達(dá)人”的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某旅游愛好者計(jì)劃從3個亞洲國家A1，A2，A3和3個歐洲國家B1，B2，B3中選擇2個國家去旅游.

(1)若從這6個國家中任選2個，求這2個國家都是亞洲國家的概率；

(2)若從亞洲國家和歐洲國家中各選1個，求這兩個國家包括A1，但不包括B1的概率．

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