Question

（09年臨沭縣模塊考試?yán)恚��?4分）

       已知函數(shù)f(x)與g(x)=alnx-x²（a為常數(shù)）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，且x=1是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)。

   （Ⅰ）求出函數(shù)f(x)的表達(dá)式和單調(diào)區(qū)間；

   （Ⅱ）若已知當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求m的取值范圍。（注：若）。

Answer 1

解析：（Ⅰ）設(shè)是函數(shù)f(x)的圖象上任意一點(diǎn)，則易求得P點(diǎn)關(guān)于直線x=1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為

       ，依題意知點(diǎn)在y=g(x)的圖象上，

       ∴y=aln(2-x)-(2-x)²

       ∴f(x)=aln(2-x)-(2-x)²                                                                                       ??????????????2分

       ∴

       ∵x=1是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，∴

       ∴a=2                                                                                      ?????????????????3分

       ∴f(x)的表達(dá)式是f(x)=2ln(2-x)-(2-x)²，（x＜2）                      ?????????????????4分

       ∴

       ∵f(x)定義域是（―∞，2），∴只有x=1是f(x)的極值點(diǎn)

       又當(dāng)x＜1時(shí)，＞0

       當(dāng)1＜x＜2時(shí)，＜0                                                       ??????????????????5分

       ∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是（―∞，1），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，2）??????????????????6分

   （寫(xiě)出也對(duì)）

   （Ⅱ）由＜0

       得＜―，                                              ??????????????????7分

       ∴+＜m＜-                             ?????????????????8分

       ∴＜m＜在x∈[-2，-1]時(shí)恒成立              ?????????????????9分

       故只需求出在x∈[-2，-1]時(shí)的最大值和在x∈[-2，-1]時(shí)的最小值，

       即可求得m的取值范圍。                                                       ????????????????10分

       當(dāng)x∈[-2，-1]時(shí)

       ∵=ln≤ln                      ????????????????12分

       =≥              ????????????????13分

       ∴m的取值范圍是（0，）