Question

【題目】某電視臺推出一檔游戲類綜藝節(jié)目，選手面對1﹣5號五扇大門，依次按響門上的門鈴，門鈴會播放一段音樂，選手需正確回答這首歌的名字，回答正確，大門打開，并獲得相應的家庭夢想基金，回答每一扇門后，選手可自由選擇帶著目前的獎金離開，還是繼續(xù)挑戰(zhàn)后面的門以獲得更多的夢想基金，但是一旦回答錯誤，游戲結(jié)束并將之前獲得的所有夢想基金清零；整個游戲過程中，選手有一次求助機會，選手可以詢問親友團成員以獲得正確答案． 1﹣5號門對應的家庭夢想基金依次為3000元、6000元、8000元、12000元、24000元（以上基金金額為打開大門后的累積金額，如第三扇大門打開，選手可獲基金總金額為8000元）；設(shè)某選手正確回答每一扇門的歌曲名字的概率為pi（i=1，2，…，5），且pi= （i=1，2，…，5），親友團正確回答每一扇門的歌曲名字的概率均為 ，該選手正確回答每一扇門的歌名后選擇繼續(xù)挑戰(zhàn)后面的門的概率均為 ；
（1）求選手在第三扇門使用求助且最終獲得12000元家庭夢想基金的概率；
（2）若選手在整個游戲過程中不使用求助，且獲得的家庭夢想基金數(shù)額為X（元），求X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)事件“該選手回答正確第i扇門的歌曲名稱”為事件Ai，“使用求助回答正確歌曲名稱”為事件B，

事件“每一扇門回答正確后選擇繼續(xù)挑戰(zhàn)下一扇門”為事件C；則

， ， …設(shè)事件“選手在第三扇門使用求助且最終獲得12000元家庭夢想基金”為事件A，則：

A=A1CA2C ×

∴選手在第三扇門使用求助且最終獲得12000元家庭夢想基金的概率為

（2）解：X的所有可能取值為：0，3000，6000，8000，12000，24000；

P（X=3000）=P（A1 ）= ；

P（X=6000）=P（A1 CA2 ）= × ×（ ）2= ；

P（X=8000）=P（A1 CA2 CA3 ）= ；

P（X=12000）=P（A1 CA2 CA3 CA4 ）= ；

P（X=24000）=P（A1 CA2 CA3 CA4 CA5）= ；

P（X=0）=P（ ）+P（A1C ）+P（A1CA2C ）+P（A1CA2CA3C ）+P（A1CA2CA3CA4C ）= ；

（或P（X=0）=1﹣（P（X=3000）+P（X=6000）+P（X=8000）+P（X=12000）+P（X=24000）

=1﹣ ）．

∴X的分布列為：

X	0	3000	6000	8000	12000	24000
P

∴EX=0× +3000× +6000× +8000× +12000× +24000×

=1250+1000+500+250+250=3250（元）

∴選手獲得的家庭夢想基金數(shù)額為X的數(shù)學期望為3250（元）

【解析】（1）設(shè)事件“選手在第三扇門使用求助且最終獲得12000元家庭夢想基金”為事件A．利用獨立重復試驗求得概率．（2）寫出X的所有可能取值并求得其概率和分布列．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用離散型隨機變量及其分布列的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握在射擊、產(chǎn)品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．