（2013•重慶）設(shè)雙曲線C的中心為點(diǎn)O，若有且只有一對(duì)相交于點(diǎn)O，所成的角為60°的直線A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分別是這對(duì)直線與雙曲線C的交點(diǎn)，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（　　）
分析：由雙曲線的基本性質(zhì)可知，直線A1B1和A2B2，關(guān)于x軸對(duì)稱，并且直線A1B1和A2B2，與x軸的夾角為30°，雙曲線的漸近線與x軸的夾角大于30°，否則不滿足題意．根據(jù)這個(gè)結(jié)論可以求出雙曲線離心率的取值范圍．
解答：解：由雙曲線的基本性質(zhì)對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，這時(shí)只須考慮雙曲線的焦點(diǎn)在x軸的情形．
因?yàn)橛星抑挥幸粚?duì)相較于點(diǎn)O、所成的角為60°的直線A1B1和A2B2，
所以直線A1B1和A2B2，關(guān)于x軸對(duì)稱，并且直線A1B1和A2B2，與x軸的夾角為30°，雙曲線的漸近線與x軸的夾角大于30°且小于等于60°，否則不滿足題意．
可得
b
a
＞tan30°，即
b2
a2
＞
1
3
，
c2-a2
a2
＞
1
3
，所以e＞
2
3
3
．
同樣地，當(dāng)
b
a
≤tan60°，即
b2
a2
≤3，所以e≤2．
所以雙曲線的離心率的范圍是(
2
3
3
，2]．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題時(shí)要注意挖掘隱含條件．
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[0，
π
6
]∪[
5π
6
，π]
[0，
π
6
]∪[
5π
6
，π]
．

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