Question

在運(yùn)用計(jì)算機(jī)（器）作函數(shù)圖象時(shí)，經(jīng)常用到“符號(hào)函數(shù)”S（x）=

1，x≥0 0，x＜0.

例如要表示分段函數(shù)g（x）=

x， x＞2 -x， x＜2

，可以將g（x）表示為g（x）=x•S（x-2）+（-x）•S（2-x）輸入計(jì)算機(jī)，則計(jì)算機(jī)就會(huì)畫(huà)出函數(shù)g（x）的圖象．設(shè)f（x）=（-x²+4x-3）•S（x-1）+（x²-1）•S（1-x）（x≠1）．
（1）請(qǐng)把函數(shù)y=f（x）寫(xiě)成分段函數(shù)的形式；
（2）畫(huà)出函數(shù)y=f（x）的大致圖象；
（3）設(shè)F（x）=f（x+k），是否存在實(shí)數(shù)k，使得F（x）為奇函數(shù)？若存在，寫(xiě)出滿足條件的k值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）分當(dāng)x＞1、當(dāng)x=1和當(dāng)x＜1時(shí)3種情況加以討論，分別根據(jù)S（x）的對(duì)應(yīng)法則代入，可得f（x）相應(yīng)范圍內(nèi)的表達(dá)式，最后綜合可得函數(shù)f（x）寫(xiě)成分段函數(shù)的形式；
（2）畫(huà)分段函數(shù)每一段的圖象即可；
（3）根據(jù)第（2）問(wèn)畫(huà)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象的平移知識(shí)，使圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即可得到奇函數(shù)．

解答： 解：（Ⅰ）分情況討論：
①當(dāng)x＞1時(shí)，S（x-1）=1且S（1-x）=0，得f（x）=（-x²+4x-3）×1+（x²-1）×0=-x²+4x-3；
②當(dāng)x=1時(shí)，S（x-1）=S（1-x）=1，得f（x）=（-x²+4x-3）×1+（x²-1）×1=4x-4；
③當(dāng)x＜1時(shí)，S（x-1）=0且S（1-x）=1，得f（x）=（-x²+4x-3）×0+（x²-1）×1=x²-1
∴f(x)=

-x2+4x-3，x＞1 4x-4，x=1 x2-1，x＜1

（2）函數(shù)y=f（x）的大致圖象：

（3）若F（x）為奇函數(shù)，則F（x）的圖象應(yīng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
因?yàn)閗＞0時(shí)，F(xiàn)（x）=f（x+k）的圖象可以看成是把函數(shù)f（x）的圖象向左平移k個(gè)單位得到，
又∵函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)A（1，0）對(duì)稱，∴只要把函數(shù)f（x）的圖象向左平移1個(gè)單位后，圖象就關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴當(dāng)k=1時(shí)，函數(shù)F（x）的圖象應(yīng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則F（x）為奇函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題以分段函數(shù)和二次函數(shù)為載體，討論函數(shù)的奇偶性，著重考查了基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)解析式的求解及常用方法和奇偶性與函數(shù)平移等有關(guān)知識(shí)的綜合考查．