(2012•廈門(mén)模擬)定義在R上的函數(shù)f(x),其圖象是連續(xù)不斷的,如果存在非零常數(shù)λ(λ∈R,使得對(duì)任意的x∈R,都有f(x+λ)=λf(x),則稱(chēng)y=f(x)為“倍增函數(shù)”,λ為“倍增系數(shù)”,下列命題為真命題的是
①③④
①③④
(寫(xiě)出所有真命題對(duì)應(yīng)的序號(hào)).
①若函數(shù)y=f(x)是倍增系數(shù)λ=-2的倍增函數(shù),則y=f(x)至少有1個(gè)零點(diǎn);
②函數(shù)f(x)=2x+1是倍增函數(shù),且倍增系數(shù)λ=1;
③函數(shù)f(x)=
e
-x
 
是倍增函數(shù),且倍增系數(shù)λ∈(0,1);
④若函數(shù)f(x)=sin(2ωx)(ω>0)是倍增函數(shù),則ω=
2
(k∈N*)
分析:由函數(shù)y=f(x)是倍增系數(shù)λ=-2的倍增函數(shù),知f(x-2)=-2f(x),由此得到y(tǒng)=f(x)至少有1個(gè)零點(diǎn);由f(x)=2x+1是倍增函數(shù),知2(x+λ)+1=λ(2x+1),故λ=
2x+1
2x-1
≠1;由f(x)=
e
-x
 
是倍增函數(shù),得λ=
1
eλ
∈(0,1);由f(x)=sin(2ωx)(ω>0)是倍增函數(shù),得ω=
2
(k∈N*)
解答:解:∵函數(shù)y=f(x)是倍增系數(shù)λ=-2的倍增函數(shù),
∴f(x-2)=-2f(x),
當(dāng)x=0時(shí),f(-2)+2f(0)=0,
若f(0),f(-2)任一個(gè)為0,函數(shù)f(x)有零點(diǎn).
若f(0),f(-2)均不為零,則f(0),f(-2)異號(hào),
由零點(diǎn)存在定理,在(-2,0)區(qū)間存在x0,f(x0)=0,
即y=f(x)至少有1個(gè)零點(diǎn),故①正確;
∵f(x)=2x+1是倍增函數(shù),
∴2(x+λ)+1=λ(2x+1),
λ=
2x+1
2x-1
≠1,故②不正確;
f(x)=
e
-x
 
是倍增函數(shù),
∴e-(x+λ)=λe-x,
1
exeλ
=
λ
ex
,
λ=
1
eλ
∈(0,1),故③正確;
∵f(x)=sin(2ωx)(ω>0)是倍增函數(shù),
∴sin[2ω(x+λ)]=λsin(2ωx),
ω=
2
(k∈N*)
.故④正確.
故答案為:①③④.
點(diǎn)評(píng):本題考查命題的真假判斷,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•廈門(mén)模擬)函數(shù)f(x)=
x
3
 
-sinx+2
的圖象( �。�

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•廈門(mén)模擬)已知函數(shù)f(x)=
1
3
a
x
3
 
+
1
2
a
x
2
 
-bx+b-1
在x=1處的切線與x軸平行,若函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)四個(gè)象限,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
3
16
<a<
6
5
3
16
<a<
6
5

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•廈門(mén)模擬)設(shè)全集U={0,l,2,3,4,5},A={0,1},B={x|
x
2
 
-2x=0
},則A∩(CUB)=( �。�

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•廈門(mén)模擬)函數(shù)y=
a
x
 
,y=sinax
(a>0且a≠1)在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中的圖象可以是( �。�

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•廈門(mén)模擬)“2<x<3”是“x(x-5)<0”的( �。�

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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