Question

在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=p＞0，且，n∈N
（1）若數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，求p的值．
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）設數(shù)列{a_n}的公差為d，由題意知

d2=1 2a1d-d2=3 a12-a1d=2

，由此可知p=2．
（2）由題意知∴a_n+2•a_n+1=（n+2）（n+3），所以

an+2

an

=

n+3

n+1

，由此入手能夠求出Sn=

(n+1)(n+3) 8 p+ (n-1)(n+3) 2p ，n為奇數(shù) n(n+2) 8 p+ n(n+4) 2p ，n為偶數(shù)

．

解答：解：（1）設數(shù)列{a_n}的公差為d，
則a_n=a₁+（n-1）d，a_n+1=a₁+nd，
依題得：[a₁+（n-1）d]（a₁+nd）=n²+3n+2，對n∈N^*恒成立．
即：d²n²+（2a₁d-d²）n+（a₁²-a₁d）=n²+3n+2，對n∈N^*恒成立．
所以

d2=1 2a1d-d2=3 a12-a1d=2

，
即：

d=1 a1=2

或

d=-1 a1=-2

∵a₁=p＞0，故p的值為2．
（2）∵a_n+1•a_n=n²+3n+2=（n+1）（n+2）
∴a_n+2•a_n+1=（n+2）（n+3）
所以

an+2

an

=

n+3

n+1

①當n為奇數(shù)，且n≥3時，

a3

a1

=

4

2

，

a5

a3

=

6

4

，

an

an-2

=

n+1

n-1

4．相乘得

an

a1

=

n+1

2

，5所以an=

n+1

2

p．當n=1也符合．
②當n為偶數(shù)，且n≥4時，

a6

a4

=

7

5

an

an-2

=

n+1

n-1

相乘得

an

a2

=

n+1

3

，所以an=

n+1

3

a2∵a₁•a₂=6，所以a2=

6

p

．因此an=

2(n+1)

p

，當n=2時也符合．
所以數(shù)列{a_n}的通項公式為an=

n+1 2 p，n為奇數(shù) 2(n+1) p ，n為偶數(shù)

．
當n為偶數(shù)時，
Sn=p+

6

p

+2p+

10

p

++

n

2

p+

2(n+1)

p

=p•

n 2 (1+ n 2 )

2

+

2

p

•

n 2 (3+n+1)

2

=

n(n+2)

8

p+

n(n+4)

2p

當n為奇數(shù)時，n-1為偶數(shù)，
Sn=Sn-1+an=

(n-1)(n-1+2)

8

p+

(n-1)(n-1+4)

2p

+

n+1

2

p=

(n+1)(n+3)

8

p+

(n-1)(n+3)

2p

所以Sn=

(n+1)(n+3) 8 p+ (n-1)(n+3) 2p ，n為奇數(shù) n(n+2) 8 p+ n(n+4) 2p ，n為偶數(shù)

點評：本題考查數(shù)列知識的綜合應用，解題時要認真審題，注意計算能力的培養(yǎng)．