精英家教網(wǎng)已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形,∠ADC=∠DCB=
π2
,AD=1,BC=3,PC=CD=2,PC⊥平面ABCD,E是線段AB的中點(diǎn).
(I)求證:DE⊥平面PAC;
(II)求二面角B-PA-C的大。
分析:(I)取CD中點(diǎn)F,連接EF,欲證DE⊥平面PAC,根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證DE與平面PAC內(nèi)兩相交直線垂直,而DE⊥AC,PC⊥DE,滿足定理?xiàng)l件;
(II)以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以CD,CB,CP為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,求出平面PAC的法向量
DE
和平面PAB的一個(gè)法向量為
n
,計(jì)算兩個(gè)法向量的夾角,即可求出二面角B-PA-C的大。
解答:解:(I)取CD中點(diǎn)F,連接EF,
EF⊥CD,EF=
1
2
(AD+BC)=2

∵AD=DF=1,CD=EF=2,∠CDA=∠EFD=90°
∴△CDA≌△EFD∴∠DAC=∠FDE
∵∠EDA+∠FDE=90°∴∠EDA+∠DAC=90°∴DE⊥AC(4分)
∵PC⊥平面ABCD,∴PC⊥DE∴DE⊥平面PAC(6分)
(II)以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以CD,CB,CP為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,
則C(0,0,0),D(2,0,0),B(0,3,0),P(0,0,2),A(2,1,0),E(1,2,0)
∵DE⊥平面PAC∴平面PAC的一個(gè)法向量為
DE
=(-1,2,0)
(8分)
設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為
n
=(x,y,z)
,
PA
=(2,1,-2),
PB
=(0,3,-2)
,
2x+y-2z=0
3y-2z=0

不妨令x=1,則y=1,z=
3
2
,
n
=(1,1,
3
2
)
(10分)
cos<
DE
,
n
>=
(-1)•1+2•1+0•
3
2
5
17
2
=
2
85
85

∴二面角B-PA-C的大小為arccos
2
85
85
.
(12分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了直線與平面垂直的判定,以及利用空間向量求二面角的大小,考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,e為PC的中點(diǎn),F(xiàn)為AD的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明EF∥平面PAB;
(Ⅱ)證明EF⊥平面PBC;
(III)點(diǎn)M是四邊形ABCD內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn),PM與平面ABCD所成的角始終為45°,求動(dòng)直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=2CD=2,PB=PC,側(cè)面PBC⊥底面ABCD,O是BC的中點(diǎn).
(1)求證:PO⊥平面ABCD;
(2)求證:PA⊥BD
(3)若二面角D-PA-O的余弦值為
10
5
,求PB的長(zhǎng).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,E為BC中點(diǎn),AE與BD交于O點(diǎn),AB=BC=2CD=2,BD⊥PE.
(1)求證:平面PAE⊥平面ABCD; 
(2)若直線PA與平面ABCD所成角的正切值為
5
2
,PO=2,求四棱錐P-ABCD的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,∠DAB=∠ABC=90°,E是線段PC上一點(diǎn),PC⊥平面BDE.
(Ⅰ)求證:BD⊥平面PAB.
(Ⅱ)若PA=4,AB=2,BC=1,求直線AC與平面PCD所成角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010-2011學(xué)年山東省濟(jì)寧一中高三(上)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

如圖,已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,e為PC的中點(diǎn),F(xiàn)為AD的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明EF∥平面PAB;
(Ⅱ)證明EF⊥平面PBC;
(III)點(diǎn)M是四邊形ABCD內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn),PM與平面ABCD所成的角始終為45°,求動(dòng)直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積.

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