【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在處的切線斜率為2，試求a的值及此時(shí)的切線方程；

（2）若函數(shù)在區(qū)間（其中…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上有唯一的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】（1），；（2）或.

【解析】

（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；

（2）討論參數(shù)的值，確定函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，從而根據(jù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，得出實(shí)數(shù)a的取值范圍.

（1）由，（）.

由已知.

可得：

又此時(shí).

所以所求的切線方程為：.

即：

（2），其中

①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間恒成立，在區(qū)間單調(diào)遞增

又∵，∴函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn)，符合題意.

②當(dāng)時(shí)，在區(qū)間恒成立，在區(qū)間單調(diào)遞減

又∵，∴函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn)，符合題意.

③當(dāng)時(shí)

（i）時(shí)，，單調(diào)遞減

又∵，，∴函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn)

（ii）當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增

∴要使在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn)，只有當(dāng)時(shí)符合題意

即，即

∴時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn)；

∴綜上a的取值范圍是或.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在全球抗擊新冠肺炎疫情期間，我國(guó)醫(yī)療物資生產(chǎn)企業(yè)加班加點(diǎn)生產(chǎn)口罩、防護(hù)服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一線醫(yī)療物資供應(yīng)，在國(guó)際社會(huì)上贏得一片贊譽(yù)．我國(guó)某口罩生產(chǎn)廠商在加大生產(chǎn)的同時(shí)．狠抓質(zhì)量管理，不定時(shí)抽查口罩質(zhì)量，該廠質(zhì)檢人員從某日所生產(chǎn)的口罩中隨機(jī)抽取了100個(gè)，將其質(zhì)量指標(biāo)值分成以下五組：，，，，，得到如下頻率分布直方圖．

（1）規(guī)定：口罩的質(zhì)量指標(biāo)值越高，說明該口罩質(zhì)量越好，其中質(zhì)量指標(biāo)值低于130的為二級(jí)口罩，質(zhì)量指標(biāo)值不低于130的為一級(jí)口罩．現(xiàn)從樣本口罩中利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取8個(gè)口罩，再?gòu)闹谐槿?/span>3個(gè)，記其中一級(jí)口罩個(gè)數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（2）在2020年“五一”勞動(dòng)節(jié)前，甲，乙兩人計(jì)劃同時(shí)在該型號(hào)口罩的某網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物平臺(tái)上分別參加、兩店各一個(gè)訂單“秒殺”搶購(gòu)，其中每個(gè)訂單由個(gè)該型號(hào)口罩構(gòu)成．假定甲、乙兩人在、兩店訂單“秒殺”成功的概率分別為，，記甲、乙兩人搶購(gòu)成功的訂單總數(shù)量、口罩總數(shù)量分別為，，

①求的分布列及數(shù)學(xué)期望；

②求當(dāng)的數(shù)學(xué)期望取最大值時(shí)正整數(shù)的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】近幾年，電商行業(yè)的蓬勃發(fā)展帶動(dòng)了快遞業(yè)的迅速增長(zhǎng)，快遞公司攬收價(jià)格一般是采用“首重+續(xù)重”的計(jì)價(jià)方式.首重是指最低的計(jì)費(fèi)重量，續(xù)重是指超過首重部分的計(jì)費(fèi)重量，不滿一公斤按一公斤計(jì)費(fèi).某快遞網(wǎng)點(diǎn)將快件的攬收價(jià)格定為首重（不超過一公斤）8元，續(xù)重2元/公斤（例如，若一個(gè)快件的重量是0.6公斤，按8元計(jì)費(fèi)；若一個(gè)快件的重量是1.4公斤，按元元元計(jì)費(fèi)）.根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，得到該網(wǎng)點(diǎn)攬收快件重量的頻率分布直方圖如下圖所示

（1）根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，將頻率視作概率，求該網(wǎng)點(diǎn)攬收快件的平均價(jià)格；

（2）為了獲得更大的利潤(rùn)，該網(wǎng)點(diǎn)對(duì)“一天中收發(fā)一件快遞的平均成本（單位：元）與當(dāng)天攬收的快遞件數(shù)（單位：百件）之間的關(guān)系”進(jìn)行調(diào)查研究，得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：

每天攬收快遞件數(shù)（百件）

2

3

4

5

8

每件快遞的平均成本（元）

5.6

4.8

4.4

4.3

4.1

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，技術(shù)人員分別根據(jù)甲、乙兩種不同的回歸模型，得到兩個(gè)回歸方程：

方程甲：，方程乙：.

①為了評(píng)價(jià)兩種模型的擬合效果，根據(jù)上表數(shù)據(jù)和相應(yīng)回歸方程，將以下表格填寫完整（結(jié)果保留一位小數(shù)），分別計(jì)算模型甲與模型乙的殘差平方和，，并依此判斷哪個(gè)模型的擬合效果更好（備注：稱為相應(yīng)于點(diǎn)的殘差，殘差平方和；

每天攬收快遞件數(shù)/百件

2

3

4

5

8

每天快遞的平均成本/元

5.6

4.8

4.4

4.3

4.1

模型甲

預(yù)報(bào)值

5.2

5.0

4.8

殘差

0.2

0.4

模型乙

預(yù)報(bào)值

5.5

4.8

4.5

預(yù)報(bào)值

0

0.1

②預(yù)計(jì)該網(wǎng)點(diǎn)今年6月25日（端午節(jié)）一天可以攬收1000件快遞，試根據(jù)①中確定的擬合效果較好的回歸模型估計(jì)該網(wǎng)點(diǎn)當(dāng)天的總利潤(rùn)（總利潤(rùn)=（平均價(jià)格-平均成本）×總件數(shù)）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面底面，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且.

（1）求證：；

（2）求點(diǎn)到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線，與圓有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)．

（1）求拋物線的方程；

（2）經(jīng)過的動(dòng)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，試問在直線上是否存在定點(diǎn)，使得直線的斜率之和為直線斜率的倍？若存在，求出定點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖,四棱錐中，，，，，．

（1）求證：平面平面；

（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角為？若存在，求的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)直線交拋物線于A，B兩點(diǎn).

（1）若，證明直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)；

（2）點(diǎn)M為的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作與y軸垂直的直線交拋物線于C點(diǎn)；點(diǎn)N為的中點(diǎn)，過點(diǎn)N作與y軸垂直的直線交拋物線于點(diǎn)P.設(shè)△的面積，△的面積為.

（i）若過定點(diǎn)，求使取最小值時(shí)，直線的方程；

（ii）求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，E為線段PB的中點(diǎn)，F為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)．

（1）求證：AE⊥平面PBC；

（2）試確定點(diǎn)F的位置，使平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30°．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，圓經(jīng)過橢圓的左，右焦點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線與橢圓交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，的垂直平分線與軸和軸分別交于兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得的面積與（為原點(diǎn)）的面積相等？若存在，求出的值，若不存在，說明理由.

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